Extremwertprobleme Aufgabe?
Die Aufgabe lautet „Die Summe zweier nicht negativer Zahlen ist 10. Bestimmen Sie die Zahlen so, dass das Produkt möglichst klein ist.“
So bin ich vorgegangen:
Hauptbedingung: P(x,y)= x*y minimal
Nebenbedingung: x+y= 10
Zielfunktion: x+y= 10
y= 10-x
P(x)= -x^2 + 10x
P‘(x)= -2x + 10
P‘‘(x)= -2
Wenn ich jetzt die Extrema ausrechne, kommt ein Hochpunkt raus, was ja eigentlich nicht sein kann, da das Produkt möglichst klein ist. Wenn ich weiter rechne, bekomme ich x=5 und y=5 raus. Das macht auch nicht viel Sinn, denn das Produkt wäre dann 25, wobei es bei 1 und 9 ja nur 9 wäre. Ich weiß nicht, wo ich einen Fehler gemacht habe. Kann mir jemand helfen?
3 Antworten
zweier nicht negativer Zahlen
Du hast hier noch eine Randbedingung.
Somit muss x>=0 und y>=0 gelten, bzw 0<=x<=10
Der Bereich, den Du betrachtest hat somit 2 Randstellen: x=0 und x=10, diese musst du auch überprüfen, da das auch potenzielle Extrema sind.
Da 0*10=0 das kleinstmögliche Produkt ist, sind die Minima tatsächlich auch am Rand.
Zielfunktion: x+y= 10 : Nein ist es nicht
(10-y)*y = Z(y)
10y - y²
-1*( y² - 10y ) ............Scheitel bei x = ( - - 10/2 = 5 ) und y = 10*5 - 5*5 = 25
Prüfung gibt ein Maximum . Das ist gar nicht gewollt .
Weil x+y = 10 >>>> y = 10-x und auch x = 10-y beide > 0 sein müssen , muss man die globalen Minima finden .
Hallo,
Du hast keinen Fehler gemacht, denn das Minimum ist ein Randwert.
Das Maximum liegt bei x=y=5, so daß x*y=25.
Da das Ganze auf eine quadratische Funktion hinausläuft und eine solche entweder ein Maximum oder ein Minimum besitzt, aber nicht beides zugleich, kannst Du hier nur die Ränder überprüfen.
Wie wird ein Produkt aus nichtnegativen Zahlen möglichst klein? Natürlich, wenn ein Faktor gleich Null ist.
Also entweder x=0 und y=10 oder x=10 und y=0 ergibt in beiden Fällen xy=0. Weniger geht nicht, solange keine negativen Zahlen für x und y zugelassen sind.
Herzliche Grüße,
Willy
Da außer dem Maximum kein Extremwert ermittelt werden kann, müssen die Ränder, also x=0 oder x=10 überprüft werden.
Da reicht dann einfaches Einsetzen in die Gleichung x+y=10, um den zugehörigen y-Wert und letztlich das Produkt zu ermitteln. Ist es kleiner als das Maximum, muß es das Minimum sein, denn sonst wäre innerhalb des Intervalls über die Ableitung ein anderes Minimum gefunden worden.
Da es das nicht gibt, fällt die Funktion zu den Rändern hin vom Maximum aus stetig ab.
Kann ich das irgendwie an einer Rechnung zeigen? Also, dass x oder y 0 sein muss