Extremwertaufgaben mit NB?
Hallo,
da mir gestern schon so schnell geholfen wurde, probiere ich es direkt nochmal.
Ein Erfrischungsgetränk soll in zylindrischen Dosen aus Weißblech angeboten werden. Das Volumen einer Dose soll 330 ml betragen. Aus Kostengründen und der Umwelt zuliebe soll der Materialbedarf pro Dose durch eine günstige Formgebung möglichst niedrig gehalten werden. Berechne den Radius und die Höhe einer solchen "optimalen Dose".
Kann mir jemand mal bitte den kompletten Aufbau kurz erklären. Ich weiß, dass diese Aufgabe bereits 1000 mal gelöst im Internet steht, doch hilft mir das nicht weiter.
3 Antworten
Extremalbedingung: O(r,h) = 2 pi r² + 2 pi r h
Nebenbedingung: V(r,h) = pi r² h = 330
Dann ist h = 330 / ( pi r² ) und wir erhalten als Zielfunktion
O(r) = 2 pi r² + 2 pi r * 330 / ( pi r² ), also
O(r) = 2 pi r² + 660 / r.
Es ist O'(r) = 4 pi r - 660 / r² und O''(r) = 4 pi + 1320 / r³.
Berechne nun den Wert für r, bei dem die notwendige Bedingung für Extrema erfüllt ist:
O'(r) = 0,
0 = 4 pi r - 660 / r²,
0 = 4 pi r³ - 660
660 = 4 pi r³
r³ = 165 / pi
r = dritteWurzel( 165 / pi ) = ( 165 / pi )^(1/3)
Setze diesen Wert in die 2. Ableitung ein:
O''( ( 165 / pi )^(1/3) ) = 4 pi + 1320 / [ ( 165 / pi )^(1/3) ]³,
O''( ( 165 / pi )^(1/3) ) = 4 pi + 1320 / ( 165 / pi ) > 0, folglich ist die hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum erfüllt.
Es ist h = 330 / ( pi r² ) = 330 / ( pi [ ( 165 / pi )^(1/3) ] ² ) =
330 / ( pi ( 165 / pi )^(2/3) ) = 2 * 165 / ( pi^(1/3) 165^(2/3) ) =
2 * 165^(1/3) / pi^(1/3) = 2 * ( 165 / pi )^(1/3).
Also ist h = 2r.
Hallo,
Du brauchst die beiden Formeln für das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders. Das Volumen berechnet sich aus π*r²*h, die Oberfläche ist die Summe der beiden Kreisflächen, also 2*π*r² und der Mantelfläche 2*π*r*h, denn wenn Du den Mantel eines Zylinders abwickelst, erhältst Du ein Rechteck, das das Produkt aus der Höhe und dem Kreisumfang des Zylinders darstellt, also O=2*π*r*h+2*π*r².
Diese Oberfläche soll minimal werden. Die Frage ist, wie groß muß der Radius oder die Höhe sein, damit die Oberfläche bei gegebenem Volumen möglichst klein wird?
Dazu mußt Du die beiden Formeln irgendwie zusammenbringen. Die Oberflächenformel soll minimal werden, die andere ist durch das Volumen von 330 cm³ festgelegt: π*r²*h=330 cm³.
Wenn Du diese Gleichung nach h auflöst, bekommst Du die Gleichung:
h=330/(π*r²) cm.
Das kannst Du nun in die Gleichung für die Oberfläche einsetzen. So wirst Du die Unbekannte h los und die Gleichung hat nur noch r als Variable, so daß Du eine Funktion f(r) bekommst, deren Minimum Du bestimmen kannst:
2*π*r*h+2*π*r²=2*π*r*[330/(π*r²)]+2*π*r².
Nach Auflösen der Klammer:
(660*π*r)/(π*r²)+2*π*r² und Kürzen: 660/r+2*π*r² .
f(r)=2*π*r²+660/r
Um das Minimum zu bestimmen bildest Du nun die erste Ableitung und setzt sie gleich Null:
4πr-660/r²=0| *r²
4πr³-660=0| +660
4πr³=660 | :4π
r³=165/π=52,521
r=3,745
Da h=330/(π*r²) ist, ist h also 7,49 cm, das Doppelte von r.
Am günstigsten in bezug auf den Materialverbrauch ist also eine Dose, die genauso breit wie hoch ist, also einen quadratischen Querschnitt hat.
Trotzdem wird keine Getränkedose so hergestellt, weil das einfach nur klobig aussieht. Was nützt die Materialeinsparung, wenn sich die Dosen nicht verkaufen?
Herzliche Grüße,
Willy
Mach das. Das Prinzip bei solchen Aufgaben ist folgendes: Du suchst Dir die Formel für das, was minimiert oder maximiert werden soll heraus. In diesem Fall war das die Formel für eine Zylinderoberfläche. Meist hast Du es dann mit zwei Unbekannten zu tun. Hier r und h. Eine Unbekannnte eliminierst Du mit Hilfe der Nebenbedingung. Das ist der Teil, für den ein bestimmter Wert gegeben ist. Hier war das das Volumen von 330 ml oder cm³. Du schreibst also die Gleichung 330=Formel für Zylindervolumen und löst sie nach r oder h auf. Den Ausdruck für r oder h (ich hatte mich für h entschieden) setzt Du in die Gleichung ein, für die ein Extremwert gesucht wird. Ich habe das h in dieser Gleichung ersetzt durch einen Ausdruck für h, in dem nur noch r als Unbekannte vorkam. Von der so genannten Funktionsgleichung bildest Du die Ableitung und setzt sie auf Null. Diese Gleichung nach der verbliebenen Unbekannten auflösen und den so ermittelten Wert in die Gleichung einsetzen, in der Du eine Unbekannte durch die andere ausgedrückt hattest. Das ist schon alles. Viel Erfolg. Willy
So, ich habe mir jetzt mal alles durchgelesen, aber es scheint mir immer noch sehr komplex! Ich werde mir es wohl nochmal häufiger durchlesen müsse aber vielen Dank für deine ausführliche Antwort, diese hat mir schon mächtig weitergeholfen!
Extremwertaufgaben sind für viele Schüler nicht einfach zu verstehen, es sind schließlich Textaufgaben. Auch für mich waren sie anfangs etwas gewöhnungsbedürftig. Wenn man aber mehrmals die Lösungsansätze gesehen hat, dann wird es von Mal zu Mal einfacher. Es ist absolut richtig, wenn du diese Aufgaben mehrmals durchgehst, sie sozusagen studierst. Das wird dich wirklich weiterbringen. Ich wünsche dir dabei viel Erfolg. Es zahlt sich immer aus, Zeit darin zu investieren, etwas verstehen zu wollen.
NB 300=pi * r² * h ;also h = 300/(pi * r²)
HB Oberfl. = 2 * pi * r² + 2 * pi * r * h
dann h aus NB in Oberfl. einsetzen, ableiten , gleich 0 setzten usw
Vielen Dank erstmal vorab, ich werde mich morgen nochmal dransetzen und es mehrmals durchlesen!