Es gibt Funktionen dritten Grades, die genau ein lokales Extremum besitzen, wieso ist diese Behauptung falsch?
5 Antworten
Funktionen dritten Grades haben keine Extrempunkte, sondern einen Terassenpunkt. Denn diese verlaufen niemals von oben nach oben oder von untern nach untern. Ihr verlauf ist immer entweder von unten nach oben oder von oben nach unten.
Funktionen dritten Grades können auch Extrempunkte haben, allerdings sind das dann immer zwei.
Diese Aussage ist falsch, wenn man die Menge der Reellen Zahlen als Definitionsbereich nimmt.
Bei einer Funktion 3. Grades ist die erste Ableitung eine Funktion 2. Grades, also eine Parabel.
Da gibt es 3 Fälle:
1. Die Parabel hat keine Nullstelle
2. Die Parabel hat eine Nullstelle (die eine Doppelte ist)
3. Die Parabel hat zwei Nullstellen
Bei Fall 1 hat die Funktion keine Extremstelle (da es Notwendig ist, dass die Ableitung an der Stelle 0 ist)
Bei Fall 3 hat die Funktion zwei Extremstellen (da es Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sind)
Bei Fall 2 ist die Doppelte Nullstelle keine Extremstelle, sondern ein Sattelpunkt (da die Parabel da nicht das Vorzeichen wechselt)
Bei allen 3 Fällen kann es also nicht sein,dass die Funktion genau eine Extremstelle hat. Die Aussage ist somit falsch.
Wäre der Definitionsbereich jedoch ein Halboffenes Intervall, dann wäre die Aussage korrekt, da zum Beispiel f(x) = x^3 auf jedem Intervall (a,b] bei b ein Lokales Maximum hat, und sonst keine andere Extremstelle besitzt.
die erste Ableitung ist eine quadratische Fkt , die prinzipiell nur eine Nullstelle haben kann.
.
aber dann hätte sie die Form : f'(x) = a*(x-xNST)².
Beim Ableiten entsteht
f''(x) = a * [ (x-NST)*1 + 1*(x-NST) ] = 2a*(x-NST)
die Nullstelle der ersten ist zugleich NST der zweiten , es liegt also kein EXTREMUM vor
Die Behauptung ist richtig. Die Funktion hat genau da ein Extremum, wo die Ableitung eine Nullstelle hat. Eine Funktion dritten Grades hat also genau dann nur ein Extremum, wenn die Ableitung nur eine einzige Nullstelle hat.
Die Ableitung einer Funktion dritten Grades ist eine quadratische Funktion. Also ist die Frage: Gibt es quadratische Funktionen, die nur eine Nullstelle haben? Ja, alle, deren Scheitelpunkte auf der x-Achse liegen. Daraus folgt dann, dass es Funktionen dritten Grades gibt, die genau ein lokales Extremum besitzen.
Stimmt, ein Sattelpunkt zählt ja offiziell nicht zu den Extrema
Weil solche Funktionen entweder 0 oder 2 Extrema haben.
Das Problem bei deiner Argumentation ist, dass du nur auf die notwendige Bedingung (Ableitung hat Nullstelle) eingehst, aber die Bedingung "2. Ableitung ist nicht gleich Null" vergisst.
Wenn die Ableitungsfunktion genau eine Nullstelle hat, muss dies eine doppelte Nullstelle sein, sie hat also die Form
f'(x) = a (x-x_0)²
wobei x_0 die Nullstelle sei.
Leitest du f'(x) ein weiteres Mal ab, so bekommst du
f''(x) = 2a (x-x_0).
Also ist die zweite Ableitung bei x_0 ebenfalls 0 - du hast also kein lokales Extremum gefunden, sondern lediglich einen Sattelpunkt.