Erwartungswert Quantenmechanik einfacher bestimmen?
Ich lerne gerade QM und bin daher noch nicht so vertraut mit der Mathematik dahinter.
Wenn ich den Erwartungswert von x in einem Zustand bestimmen will, so kann ich das meines Wissen folgendermaßen machen:
Da sin^2(u*x)x aber mMn sehr umständlich zu integrieren ist, gehe ich davon aus, dass man das irgendwie simpler lösen kann, ist dem so oder muss man sich da wirklich "durchquälen"?
2 Antworten
Es gibt Tricks, aber die sind immer nur sehr spezifisch zu gewissen Problemen nützlich.
Beispielsweise muss man natürlich nicht unbedingt im Ortsraum integrieren, sondern man kann auch im Impulsraum arbeiten. Da man mit Wellenfunktionen arbeitet würde das bedeuten, dass man die einzelnen Größen mit einer Fourier-Transformation umformen kann, wodurch man nochmal extra Integrale und Exponentialfunktionen bekommt, die manchmal nützlich sein könnten. In deinem Fall bringt das leider nicht so viel.
Manchmal sind die Lösungen von Integralen (vor allem bei symmetrischen Potentialen und Grenzen) aber auch recht einfach. Denn hier wäre der Sinus im quadrat eine symmetrische Funktion. Das einzelne x ist punktsymmetrisch zum Ursrpung. Demnach wäre der gesamte Integrand punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei symmetrischen Integralgrenzen würde sich so die positive Seite immer mit der negativen Seite im Koordinatensystem wegheben - es würde also null herauskommen. Wenn du deinen Integralausdruck also irgendwie durch Substitution verschieben kannst, sodass die Integralgrenzen symmetrisch um null liegen, könntest du das verwenden. Das sollte bei dir sogar klappen. Versuch mal die Substitution
Der Aufschrieb sieht für mich an einer Stelle falsch aus. Meiner Meinung nach muss vor dem Integral der Faktorstehen, da ja die Wellenfunktion quadriert wird.
Ansonsten: Nein, es gibt nicht immer einen simpleren Weg zum Ziel.
Ja, stimmt. habe mich da verschrieben. Hatte halt gedacht dass man das mit der Dirac-Notation oder so einfacher machen kann.