Ergeben Dedekindsche Schnitte wirklich Sinn?
um genau zu erklären was ich meine beschränke ich mich hierbei nur auf die Untermenge (o.B.d.A…)
angenommen die Zahl 3.14159265, welche eindeutig Reell ist soll als D.Schnitt dargestellt werden dann würde man das ja so definieren:
U={xэ Q | x < 3.14159265}
diese Menge U wäre absolut identisch mit der Untermenge der Zahl y= 3.141592654
also müsste das bedeuten, weil die Schnitte identisch sind müssten auch die Zahlen identisch sein, was absolut keinen Sinn ergibt.
oder Versteh ich da was komplett falsch?
danke
1 Antwort
Ich verstehe vor allem nicht was du mit deiner Frage überhaupt aussagen willst. insbesondere ist die Menge
nicht identisch mit
denn
x_0 = 3.141592651 ist Element von U_2, aber nicht von U_1.
Vielleicht solltest du dir das Thema noch mal aneignen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Dedekindscher_Schnitt
Ich möchte darauf hinweisen dass dieses Thema WIRKLICH WICHTIG ist. Denn es ist eine der Möglichkeiten, die Lücken die Q auf der Zahlengeraden hinterläßt zu schließen und damit die Analysis auf eine feste Grundlage zu stellen. Die anderen Formulierungen des sogenannten Vollständigkeitsaxioms findest du hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl#Axiomatische_Einf%C3%BChrung_der_reellen_Zahlen
Hä? Jeder abbrechende Dezimalbruch ist eine rationale Zahl. Wie kommst du auf diesen Unfug?
ich meine der dedekindsche schnitt behauptet das zwischen zwei Rellen zahlen immer mindestens eine rationale Zahl liegt
Das ist auch richtig. Denn die rationalen Zahlen liegen "dicht" in R. Du scheinst grundlegende Schwierigkeiten mit der dahinterliegenden Axiomatik zu haben. Ich empfehle dir zunächst den Zugang über das Supremumsaxiom zu suchen und damit ein wenig zu arbeiten.
Also ich meine die Untermengen beinhalten ja nur rationale Zahlen und wenn eine Zahl ganz ganz nah an unserer zu konstruierenden Rellen Zahl liegt aber nicht in den Rationalen zahlen liegt dann lässt sich das doch nicht als Schnitt darstellen
Eben doch. Der "Trick" ist gerade, dass man Zahlen die eben nicht rational sind genau so definiert. Das jeder Dedekinsche Schnitt eine reele Zahl definiert ist ein Axiom! So definiert der in der Wikipedia angegebene Schnitt den ich hier nicht kopieren kann da in Kommentaren keine Bilder und Formeln erlaubt sind eben Wurzel(2). Dafür muß man aber die Rechenoperationen die mit dem Dedekinschen Schnitt definiert werden nachvollziehen.
Aber x_0 ist doch keine rationale Zahl 0.o