Entfernung zwischen zwei Tangenten
Hallo, ich würde gerne wissen wie man die Entfernung zwischen zwei Geraden (verlaufen parallel) ausrechnet.
Habe bis jetzt nur die Funktion (-x-1)einer senkrecht durch die zwei Geraden verlaufenden Geraden und weiss nicht weiter..
bitte um Hilfe
4 Antworten
Ich nehme an, daß die Entfernung zwischen den zwei Geraden der Abstand sein soll den man auf einer sie rechtwinklig schneidenden Geraden mißt. (So wie man eine Straße auf kürzestem Wege überquert.)
Die beiden Geraden seien gegeben durch:
y = m * x + b1
y = m * x + b2
Dann ist der Abstand:
d = |b2 - b1| / √(m^2 + 1)
Als Beispiel nehme ich das von appletman.
y = (3/2) * x + 7
y = (3/2) * x - 5
m = 3/2, b1 = 7, b2 = -5
d = |-5 -7| / √((3/2)^2 + 1)
= 12 / √(9/4 + 1)
= 12 / √(13/4)
= 12 / (√(13)/2)
= 24 / √(13)
= 6,656...
Begründung:
Der gesuchte Abstand ist Abstand der beiden Schnittpunkte, an denen eine Gerade beide Parallelen schneidet, wenn sie sie rechtwinklig schneidet.
Da unsere Parallelen die Stegung m haben, hat die rechtwicklig schneidende Gerade die Stegung -1/m. Der Einfachheit halber sagen wir, sie soll durch den Koordinatenursprung gehen, so daß ihr b = 0 ist. Dann ist ihre Geradengleichung:
y = -(1/m) * x
Der erste Schnittpunkt ist die Lösung des Gleichungssystems
y = m * x + b1
y = -(1/m) * x
Der erste Schnittpunkt hat die Koordinaten:
x1 = -b1 * m / (m^2 + 1)
y1 = b1 / (m^2 + 1)
Beim zweiten Schnittpunkt sind die Koordinaten entsprechend, mit b2 statt b1.
Der Abstand beider Schnittpunkte ergibt sich dann durch den Satz des Pythagoras:
d = √( (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 )
Die vollständige Herleitung steht doch da. Welche Stelle verstehst Du nicht?
Hallo, y = m * x + b ist ja die allgemeine Geradengleichung. Hierbei ist m die Steigung, die bei parallelen Geraden ja gleich ist. Also können sich die Geraden nur noch in ihrem Schnittpunkt mit der y-Achse unterscheiden. Die parallelen Geraden haben also auch dort den gleichen Abstand!!!
y = 3/2 * x + 7
y = 3/2 * x - 5
Abstand der parallelen Geraden: 7 - (-5) = 7 + 5 = 12
Nee, das ist nicht richtig. Du misst senkrecht zur x-Achse, du musst aber senkrecht zu den Tangenten messen.
Geht eine Gerade durch den Ursprung, so ist b = 0. Die Geradengleichung heißt in diesem Falle also: y = m * x.
Schneiden beide Geraden oberhalb des Ursprungs die y-Achse, so ist der Abstand leicht zu berechnen:
y = 5 * x + 9
y = 5 * x + 3
d = 9 - 3 = 6
Schneiden beide Geraden unterhalb des Ursprungs die y-Achse so geht das so:
y = 3 * x - 7
y = 3 * x - 17
d = -7 - (-17) = -7 + 17 = 10
Im obigen Beispiel kann man auch folgendermaßen rechnen:
-5 - 7 = -12. Der Abstand ist dann 12.
Der Winkel alpha ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Geraden. Dieser Winkel tritt auch zwischen zwei Geraden auf, die jeweils senkrecht auf den ursprünglichen Geraden stehen, also zwischen der y-Achse und einer Senkrechten auf den eingezeichneten Geraden. Die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist also meine oben fälschlicherweise ausgerechnete Strecke und der kürzeste Abstand d zwischen 2 eingezeichneten Geraden ist eine Senkrechte auf diesen Geraden.
Da hast du vollkommen recht! wenn du den kürzesten Abstand ausrechnen willst, musst du ein rechtwinkliges Dreieck betrachten und den Steigungswinkel ausrechnen:
m = tan(alpha)
alpha = arctan(m)
Von dem rechtwinkligen Dreieck kennst du die Hypotenuse, von der Rechnung oben. Es gilt laut meiner Zeichnung:
cos(alpha) = Ankathete zu Hypotenuse
Gesucht ist die Ankathete, also:
Ankathete = Hypotenuse * cos(alpha)
Und warum ist das so? Weil der Steigungswinkel alpha auch zwischen 2 Geraden auftritt, die jeweils senkrecht auf den beiden ursprünglichen Geraden stehen! Die ursprünglichen Geraden waren die x-Achse und die eingezeichnete Gerade. Die beiden neuen Geraden sind die y-Achse und die Senkrechte zu der eingezeichneten Geraden.
dann setzt du -x-1 gleich f und g und ermittelst die Schnittpnkte; dann mit Pythagoras den Abstand der beiden Punkte berechnen.
Hänge beiden Tangenten ein GPS um den Hals, sag ihnen, sie sollen nicht wegwatscheln (am besten etwas Tang zum futtern geben), mache mit dem GPS eine Ortsbestimmung und schon kannst du mit den Koordinaten ganz einfach den Abstand ausrechnen.
Könntest du mir mal die genaue Herleitung dieser Funktion erklären? Wäre sehr hilfreich da man auch nicht wirklich weiterkommt wenn man im Internet danach schaut?