Eine Frage zur Kurvendiskussion?
Es geht um seinen sehr speziellen Fall der bei mir heute zum ersten Mal aufgetreten ist und vielleicht auch nicht vorkommen sollte wenn man keine Fehler macht. Also es geht um Steckbrief-Aufgaben, das heißt ich muss von Informationen übe den Graphen zu seiner Funktionsgleichung kommen. Mein Problem ist, mein Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades Achsensymetrisch ist. Das heißt seine generelle Funktion lautet f(x)=ax^4+bx^2+c
Ich habe genau 3 Informationen, das heißt ich sollte die Aufgabe lösen können. Die ermittelten Informationen sind f(0)=90, f(195)=0 und f'(0)=0
Wenn ich Jetzt die erste Ableitung bilde um eine Gleichung für die dritte Information zu erhalten dann komme ich auf f'(x)=4ax^3+2bx
Und hier kommt mein Problem, wenn ich jetzt die Information einsetzte komme ich auf die spektakuläre Gleichung 0=0 die mir nicht weiterhilft. Somit habe ich nicht genug Informationen. Ich erwarte nicht, dass irgendjemand mir helfen kann, aber wenn jemand eine Idee hat, nur raus damit. Vielleicht bin ich ja gerade auch nur dumm und die Lösung ist total offensichtlich...
Ok Leute wenn ich eure Antworten zusammen fasse, habe ich höchstwahrscheinlich entweder die falschen oder nicht alle Informationen ermittelt. Hier ein Bild von der Aufgabenstellung, danke für die Hilfe soweit, und bitte nicht auslachen wenn ich richtig dumme Fehler gemacht habe Herr Mathematikstudent :) (Nummer 21)
4 Antworten
Achsensymmetrische Polynome vom Grad 4 haben bei x = 0 immer Steigung 0 (überlege dir einfach mal, warum - bzw. warum es nicht anders sein kann). Die Information bringt dir also nichts und es gibt mehrere (hier sogar unendlich viele) Funktionen, die die geforderten Eigenschaften erfüllen - das Gleichungssystem, das du erhältst, ist unterbestimmt.
Sollst du eine Funktion mit diesen Eigenschaften finden, kannst du einen Parameter frei wählen. Sollst du alle bzw. eine allgemeine Funktion finden, dann löse das Gleichungssystem in Abhängigkeit eines Parameters.
Lange Rede, kurzer Sinn: Es gibt nicht nur eine Lösung.
PS: Natürlich alles nur unter der Prämisse, dass du keine Information, die eigentlich in der Aufgabe steht, vergessen hast.
Nachdem du jetzt das Bild hinzugefügt hast: Der Graph soll die x-Achse bei -195 bzw. 195 nicht schneiden. Ein Kind, das auf der Rutsche rutscht, donnert ja auch nicht volle Möhre in/auf den Boden, sondern die Rutsche geht in die Waagrechte.
Tipp zum ersten Punkt: nimm dir ein Matchbox Auto und fahre gedanklich auf nen Grafen lang als wäre es die Straße
Dann hast du dir Steigung direkt vor den Augen
Jetzt muss ich aber doch noch mal kurz nachfragen: Das was du sagst macht ja durchaus Sinn, aber dadurch habe ich ja dann nur noch weniger Informationen, weil meine beiden erfundenen Nullpunkte wegfallen. Wie soll ich denn dann die Aufgabe lösen? Soll ich die Achse irgendwo anders ansetzen?
Nee. Drei Variablen, heißt wir brauchen drei verschiedene Gleichungen. Die Nullpunkte können ruhig Nullpunkte bleiben (und das sollen sie auch). Ergibt genau drei Gleichungen:
- f(0) = 90
- f(195) = 0
- f'(195) = 0
Die Eigenschaften auf der linken Seite der y-Achse ergeben sich dann aufgrund der Achsensymmetrie.
Ok das wären ja schon mal drei schöne Informationen, aber woher weißt du, dass 195 ein Extrempunkt ist? Oder wo kommt sonst f'(195)=0 her.
Wir haben doch gesagt, dass die Rutsche in die Waagrechte geht. Also ist die Steigung am Ende null.
Ohhh, das macht erstaunlich viel Sinn. Danke wirklich, jetzt hab ichs verstanden. :)
Lösung f(x)=0,061*x⁴-0,469*x²+0,9
Wir sehen hier 3 Extrema und bei x=1,96m gilt
f(1,96)=0a4*1,96⁴+a2*1,96²+0,9 hier f(0)=0,9 ergibt ao=0,9
f´(1,96)=0=...
also LGS mit 2 Unbekannte,a4 und a2 und 2 Gleichungen,also eindeutig lösbar.
Achssymetrie f(x)=f(-x) mit Exponeten n=gerade
f(x)=a4*x⁴+a2*x²+ao
f(0)=0,9 ergibt f(0)=a4*0⁴+a2*0²+ao also ao=0,9m
Wir sehen 2 Minimum bei x1=1,96m und x2=-1,96m
f´(x)=4*a4*x³+2*a2*x
1) f(1,96)=0=a4*1,96⁴+a2*1,96²+0,9 aus P(1,96/0)
2) f´(1,96)=0=4*a4*1,96³+2*a2*1,96 aus f´(1,96)=m=0 Minimum
dieses lineare Gleichungssystem (LGS) mit den 2 Unbekannten,a4 und a2 und 2 Gleichungen,schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit.
1) 14,76*a4+3,8416*a2=-0,9
2) 30,118*a4+3,92*a2=0
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a4=0,061 und a2=-0,469
gesuchte Funktion y=f(x)=0,061*x⁴-0,469*x²+0,9 bis auf Rundungsfehler genau
Danke, ich hab übersehen, dass die Steigung an den Rädern Null sein muss.
Willst du ne Tangente anlegen oder wad genau?
Du hast wirklich eine Information zu wenig. f'(0)=0 bringt Dich wirklich nicht weiter. Vermutlich hast Du eine Information nicht gefunden. Das ist doch vermutlich eine Steckbriefaufgabe, stell doch mal die Aufgabe hier rein, damit wir den Text lesen können.
Sorry hab mich vertippt wollte es eigentlich als hilfreich bewerten :/