Eindeutige Lösbarkeit eines überbestimmten Gleichungssystem?
Falls eine Lösung existiert ist es zumindest möglich, dass diese bei einem überbestimmten Gleichungssytem eindeutig ist, meiner überlegung nach ja, stimmt das? Bei einem unterbestimmten ist es logischerweise unmöglich.
2 Antworten
Falls ein überbestimmtes Gleichungssystem überhaupt lösbar ist, gibt es ein äquivalentes Gleichungssystem, das weder über- noch unterbestimmt ist (das liegt im Begriff "überbestimmt" schon drin). Damit kann ein überbestimmtes Gleichungssystem unlösbar sein und (ansonsten) dieselben Lösbarkeitsergebnisse haben wie ein exakt bestimmtes.
Ein unterbestimmtes Gleichungssystem kann auch unlösbar sein, insbesondere wenn schon ein Teilgleichungssystem unlösbar ist. Aber es stimmt, dass ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem nie eindeutig lösbar sein kann:
In der Darstellung
A x = b
hat die Matrix A im Fall der Unterbestimmtheit ja mehr Spalten als Zeilen und kann damit nie ihre Zeilenanzahl als Rang haben, damit hat ihr Kern immer mindestens die Dimension (Spaltenanzahl - Zeilenanzahl) > 0.
Selbstverständlich ist es möglich, aber nur unter der Voraussetzung, dass die zusätzliche Zeile sich gemäß dem Additionsverfahren aus einer oder mehreren anderen Zeilen darstellen lässt.
Dann können alle oder diverse Lösungen richtig sein.
Auch eine oder jedenfalls weniger als alle können stimmen, wenn sie unter sich eindeutig dargestellt sind.