Ein Würfel wird fünfmal geworfen. Aus wie vielen Elementen besteht die Ergebnismenge? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis nur sechsen enthäl?
Zählprinzip
3 Antworten
Wenn die Reihenfolge, in der die Ergebnisse erscheinen, eine Rolle spielt, ist der gesamte Ergebnisraum einfach das mengentheoretische (cartesische) Produkt der Einzelereignisse, also aller Ereignisse der Form "beim 1. Wurf fiel eine 4, beim 2. eine 5, beim 3. eine 1 usw." Also 6 * 6 * ... * 6.
Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, musst du z. B. ermitteln, wie viele Möglichkeiten es gibt, genau 1 Paar, genau 2 Paare, genau 1 Tripel, genau 1 Tripel und 1 Paar, ... zu erhalten und die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten durch die Anzahl der gleichwertigen Permutationen teilen (Multinomialkoeffizienten).
Wenn nach dem Ereignis gefragt ist, dass nur Sechsen fallen, spielt die Reihenfolge natürlich keine Rolle. Wenn wir davon ausgehen, dass die Würfe voneinander unabhängig sind (was man, wenn nicht anders erwähnt, bei diesem Typ Aufgabe so gut wie immer kann), ist die Gesamtwahrscheinlichkeit das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Wenn wir zusätzlich davon ausgehen, dass der Würfel nicht gezinkt ist (was man, wenn nicht anders erwähnt, bei diesem Typ Aufgabe so gut wie immer kann), ist die Einzelwahrscheinlichkeit genau 1/6. Damit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 1/6 * 1/6 * ... * 1/6.
die wahrscheinlichkeit, dass eine 6 gewürfelt wird: 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, das sechs 6 kommen ist 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6
Ein regulärer Würfel hat sechs Seiten bzw. 6 Augenzahlen. Bei fünf Würfen sind demnach unter Beachtung der Reihenfolge sehr viele Ergebnisse möglich.
11111,11112,11113,11114,11115,11116,
11121,11122,11123,11124,11125,11126,11131,11132,11133,11134,11135,11136, 11141,11142,11143,11144,11145,11146,11151,11152,11153,11154,11155,11156, 11161,11162,11163, 11164,11165,11166,
11211,11212,11213,11214,11215,11216,11221,11222,11223,11224,11225,11226, 11231,11232,11233,11234,11235,11236, 11241,11242,11243,11244,11245,11246, 11251,11252,11253,11254,11255,11256, 11261,11262,11263,11264,11265,11266, 11311,11312,11313,11314,11315,11316, 11321,11322,11323,11324,11325,11326, 11331,11332,11333,11334,11335,11336, 11341,11342,11343,11344,11345,11346, 11351,11352,11353,11354,11355,11356, 11361,11362,11363,11364,11365,11366,
...
Wenn du Zeit hast, kannst du die Liste gerne weiterführen und dann alle Resultate zusammenzählen.