Mathe - Stochastikaufgabe?

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Hallo,

Sei Y der normale Würfelwurf. Um zu zählen, würde ich die Indikatorfunktion I_{ Ereignis } verwenden. Diese Funktion hat den Wert 1, wenn das Ereignis in den Klammern eintritt und sonst 0, wenn es nicht eintritt.  Unser Ereignis ist {Y = 6}, wir wir wollen also zählen, wie oft wir eine 6 gewürfelt haben. Wir haben also:

X = Summe  I_{Y=6}   (von n=1 bis 100)

Jetzt nehmen wir den Erwartungswert:

E[Summe  I_{Y=6}   (von n=1 bis 100)]

Wir nützen die Linearität des Erwartungswert aus und erhalten:

Summe  E[I_{Y=6}]   (von n=1 bis 100)]

Der Erwartungswer der Indikatorfunktion ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Also

Summe  P(Y=6)   (von n=1 bis 100)]

Wir erhalten somit

E[X] = 100*P(Y=6) = 100*1/6 = 16 + 2/3

Für die Varianz/Standardabweichung nützen wir die Formel für Zufallsvariablen

Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2

Wir berechnen zuerst die Varianz für 1 Würfelwurf eine 6 zu haben:

Var(I_{Y=6})=E(I_{Y=6}^2)-E(I_{Y=6})^2.

Weil die Indikatorfunktion immer 1 ist gilt I_{Y=6}^2=I_{Y=6} somit

Var(I_{Y=6}) =  E(I_{Y=6})-E(I_{Y=6})^2 = P(Y=6)-P(Y=6)^2 = 1/6-1/36 = 5/36

Jetzt nützen wir die Additivität der Varianz für unkorrelierte Zufallsvariablen und erhalten

Var(Summe  I_{Y=6}   (von n=1 bis 100)) = 100*5/36= 125/9

Die Standardabweichung ist sqrt(125/9)= 5*sqrt(5)/3

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