Ein Dachboden ist über eine 3m lange Bodentreppe erreichbar. Die Höhe vom Fußboden zum Dachboden beträgt 2,7m. Kann mir wer sagen, was ich rechnen soll?
Vollständige aufgabe: Ein Dachboden ist über eine 3m lange Bodentreppe erreichbar. Die Höhe vom Fußboden zum Dachboden beträgt 2,7m. Die treppe ist gut zu begehen, wennn die Treppe höchstens einen Winkel von 65° bildet. Erfülllt die Bodentreppe die Bedingung?
7 Antworten
Einen Steigungswinkel rechnet man grundsätzlich über den Tangens aus. Das ist hier aber nicht nötig, weil wir den Winkel aus dem Sinus direkt vergleichen können.
Hier hast du erst einmal einen Pythagoras. Rechter Winkel links unten (Skizzenvorschlag), a = 2,7 (bis Dachboden), c = 3 (Leiterlänge=Hypotenuse)
b ist der Abstand auf dem Fußboden (rechts der Punkt A für den Winkel α.
(Die Maße in der Planfigur brauchen nicht zu stimmen, nur die Punkt- und Seitenbezeichnungen müssen eingetragen sein.)
Damit ist sin α = a/c .
Aus dem Wert a/c rechnest du α mit sin^-1 aus.
Wenn dieser kleiner als 65° ist, dann ist es gut.
Wenn nicht, dann kannst du deine Baumaßnahme vergessen.
Beim Ergebnis sind sogar die Kommastellen wichtig!
Wenn es dir schwer fällt, dann könntest du eine Skizze malen, dann verstehst du es vielleicht besser. Ein Winkel von 90° wäre zu steil, das wäre so als würde man die Wand hoch laufen. 65° müssten begehbar sein.
Der Punkt, wo die Treppe unten startet, der, wo sie oben ankommt und der Punkt direkt darunter bilden ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Länge der Treppe ist. Die Höhe der Treppe ist die Gegenkathete. Der Sinus des Winkels ist also 0,9. Nun weiß ich, dass der Sinus von 30° und damit der Kosinus von 60° gleich ½ ist. Nach dem Satz des Pythagoras ist also
sin²(60°) = 1² – (½)² = ¾, also ist
sin(60°) = √¾ ~ 0,86,
es könnte also gerade noch hinhauen mit den höchstens 65°.
Ich habe gerade Kollege Taschenrechner gefragt, und der bestätigt meine Vermutung, dass es gerade so hinhaut. Es hätte auch gerade eben nicht mehr klappen können, an der Grenze liegt es in jedem Fall.
Es ist übrigens ein mustergültiges Beispiel für Optimierung, mit möglichst wenig Leiter eine noch komfortable Lösung hinzubekommen.
Das musst du mit einer trigonomischenFormel (sinus, Cosinus oder tangens) rechnen.