Doppelstrich beim Betrag eines Vektors?
Da ich in Physik die Lorentz Transformation als mein Referatsthem ausgesucht habe, möchte ich natürlich viel verstehen und guvke mir ein Video dazu an.
Ich habe momentan Vektoren in Mathe und im Video wurde beim Betrag das Vektors ein doppelstrich benutzt, obwohl wir in Mathe nur einen benutzen.
Ich frage mich jz, warum das eine so und so ist und ob ich diesen doppelstrich auch verwenden darf :D
2 Antworten
Der doppelte Betragsstrich ‖x‖ bezeichnet eine beliebige Norm in einem Vektorraum https://de.wikipedia.or/wiki/Norm_%28Mathematik%29).
Der einfache Betragsstrich |x| entfernt bei reellen Zahlen das Vorzeichen (Absolutbetrag). Das Symbol wird "sinngemäß" auch für andere Objekte benutzt:
- Bei komplexen Zahlen ist |z| der kanonische Betrag √(zz̅).
- Bei Funktionen und Folgen ist |f| die Abbildung x↦|f(x)| bzw. n↦|aₙ|.
- Bei Mengen gibt |M| die Mächtigkeit von M an.
- Bei Vektoren bezeichnet |v| üblicherweise die euklidische Norm ‖x‖₂.
Beachte, dass |f| bei Funktionen und Folgen keine Norm ist. In solchen Vektorräumen muss man sorgfältig zwischen |f| und ‖f‖ unterscheiden.
Ich bevorzuge deshalb bei Vektoren grundsätzlich die Schreibweise ‖v‖.
Der Doppelstrich bezeichnet für gewöhnlich eine "Norm", eine Erweiterung des Betrages auf sehr, sehr viel allgemeinere Bereiche, wie Matrizen, Funktionen, Operatoren (Funktionen, die Funktionen auf Funktionen abbilden) usw. Von daher benutzen viele Autoren diese Notation auch, um deutlich zu machen, dass es sich bei der Berechnung der Länge eines Vektors um etwas Komplizierteres handelt als um die Berechnung des Betrages einer Zahl. Oder einfach, weil man es von abstrakten Vektorräumen (wie Funktionenräumen) her so gewöhnt ist.
Die Summe der Beträge aller Komponenten hat eine Entsprechung in der Realität z. B. in einem rechteckigen Straßennetz - hier ist die Norm die Entfernung entlang der befahrbaren Wege.
Die Maximumnorm (größter der Beträge der Komponenten) hat eine Entsprechung in der Realität z. B. bei Plottern (elektromechanischen Zeichengeräten) - die haben je einen Schrittmotor für die x- und für die y-Richtung, die in einem bestimmten Takt in die eine oder andere Richtung bewegt werden oder stehengelassen werden; die Dauer, um den Schreibstift von einem Punkt zu einem anderen zu bewegen, entspricht dieser Norm (Faktor: Geschwindigkeit in x- oder y-Richtung).
Könnte ich dann die Standard euklidische Norm benutzten um die Länge des Vektors zu berechnen?
Natürlich. Die übliche euklidische Länge ist ja auch eine Norm.
Andere einfache Normen für Vektoren wären zB statt der "geometrishen" Länge die Summe aller Komponenten oder den Wert der größten Komponente zu nehmen. Bei allen dreien kriegst du ne Zahl raus, die mehr oder weniger mit einer "intuitiven Größe" des Vektors zusammenpasst.