Divergenz einer Wurzel?
Wie kann das für x -> 0 gegen -unendlich divergieren? Als Zähler erhält man doch -1 und der Nenner würde doch 0 werden (was gar nicht gehen kann). Kann mir das jemand erklären?
5 Antworten
Der Trick ist, im Zähler und im Nenner ein x herauszuheben und dieses anschließend zu kürzen. Dann einfach nochmal den Limes bestimmen. Das wurde im Bild durchgeführt.
Das Ergebnis ist Unendlich, weil der Nenner schneller gegen 0 strebt als der Zähler (eine beliebige Zahl ungleich 0 oder Unendlich dividiert durch 0 ergibt Unendlich) und negativ, weil der Bruch insgesamt negativ ist.
Der Zähler ist leicht abgehandelt x = 0 ==> Zähler ist −1.
Der Nenner geht gegen Null. Es wird also zunächst durch eine sehr kleine Zahl geteilt, was im Ergebnis zu einer sehr großen Zahl führt. Dann wird durch eine noch viel kleinere Zahl geteilt, im Ergebnis also eine noch viel größere Zahl. Und das immer weiter, bis X beliebig klein aber gerade noch nicht Null ist und das Ergebnis beliebig groß aber gerade noch nicht ∞ ist. Und dieses beliebig klein/groß jetzt immer wiederholen, dann haben wir den Limes gedanklich gebildet.
Und −1 * ∞ ist dann −∞.
(Anm.: Aber ich habe doch ein x das ja auch 0 wird ausgeklammert. Richtig, nur geht der Nenner quadratisch gegen Null und x nur linear …)
Du hast doch die Begründung geliefert. Der Zähler wird nicht 0, er geht gegen 0. Das ist ein Unterschied. Letzteres bedeutet, dass abhängig vom Vorzeichen der Term divergiert.
= -1 * lim x->oo (wurz3(x²*(x²+1))) = -oo
Das spielt sich auf so kleinem Bereich ab, dass es doch unendlich wird. Stell dir vor du teilst ein Streichholzkopf in fast unendlich Teilchen.