Definition's und Wertemenge bei potenzfunktionen bestimmen wie?

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3 Antworten

Hallo,

die Definitionsmenge ist die Menge aller Zahlen, die Du bei einer Funktion f(x) für x einsetzen darfst. Bei einer Funktion wie f(x)=x² ist das z.B. R, die Menge der reellen Zahlen, denn egal, welche Zahl auf der Zahlengeraden Du wählst, wirst Du immer ein Ergebnis erzielen, wenn Du von dieser Zahl das Quadrat bildest.

Etwas anderes ist dies z.B. bei f(x)=1/x

Wenn Du hier für x eine Null einsetzt, bekommst Du kein definiertes Ergebnis. Dein Taschenrechner würde eine Error-Meldung ausgeben, weil die Division durch Null nicht definiert ist.

Ebenso darfst Du in eine Wurzelfunktion keine x-Werte einsetzen, die zu einer negativen Zahl unter der Wurzel führen würden, weil es in der Menge R keine Wurzeln von negativen Zahlen gibt. (Die gibt es nur in C, der Menge der komplexen Zahlen).

Bei der Definitionsmenge mußt Du also immer überlegen, ob es irgendwelche Werte für x gibt, die zu einem nicht definierten Ergebnis führen, wenn sie in die Funktionsgleichung eingesetzt werden.

Be der Wertemenge dagegen sieht man nicht auf die Zahlen, die eingesetzt werden, sondern auf die Ergebnisse.

Bei f(x)=x² kann es (wenn man sich nicht in der Menge der komplexen Zahlen bewegt) keine negativen Ergebnisse geben, denn auch für negative x wird x² positiv (minus mal minus ergibt plus und plus mal plus sowieso).

Hier wäre also der Definitionsbereich in R nicht eingeschränkt (Du darfst jede reelle Zahl für x einsetzen), der Wertebereich läge aber bei R ohne die negativen Zahlen (alles ab der Null aufwärts kann als Ergebnis herauskommen, auch die Null).

Bei der Wertemenge überlegst Du also, ob es Ergebnisse geben kann, die bei keiner Zahl, die Du für x einsetzt, herauskommen.

Bei der Sinusfunktion f(x)=sin (x) kannst Du z.B. jede erdenkliche Zahl für x einsetzen. Trotzdem wirst Du niemals einen Wert herausbekommen, der größer als 1 oder kleiner als -1 ist. Das Gleiche gilt für f(x)=cos (x).

Herzliche Grüße,

Willy

Potenzfunktionen haben folgende allgemeine Form (mit Buchstaben ohne Index ausgedrückt):
f(x)=ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+z

D. h. die Potenzen bestehen aus der Basis x und einem ganzzahligen, positiven Exponenten. Es gibt hierbei keine Zahl, die man nicht für x einsetzen dürfte, also ist x immer der gesamte Zahlenbereich. Geht nichts aus der Aufgabe hervor, dann gehst Du von dem Bereich der reellen Zahlen aus, also D=IR.

(Erst wenn später x mal unter einer Wurzel steht oder im Nenner, dann mußt Du gewisse x-Werte ausschließen, z. B. darf ein Wert unter der Wurzel nie negativ sein und ein Nenner darf nie Null ergeben.)

Um an die Wertemenge zu kommen (also die Zahlen, die alle als Ergebnis rauskommen können, wenn man sämtliche x-Werte einsetzt) muss man zum einen die Grenzwerte berechnen, also entweder die Ränder des Definitionsbereichs (wenn dieser durch die Aufgabenstellung begrenzt wurde) oder die Grenzwerte für plus- und minus-unendlich (wenn es keine Begrenzung des Definitionsbereichs gibt). Das ist allerdings nur bei Funktion geraden Grades nötig, also bei Funktionen, deren höchster Exponent gerade ist, weil hier die Grenzwerte entweder beide plus-unendlich oder beide minus-unendlich sind. Dann musst Du noch zusätzlich die Grenzwerte bestimmen, um zu sehen, ob es einen Wert gibt, der niemals über- bzw. unterschritten werden kann.

Bei Funktionen ungeraden Grades, also höchster Exponent ist ungerade, ist der Wertebereich immer der gleiche Bereich wie der der Definitionsmenge, weil der Graph hier immer von minus- nach plus-unendlich wandert bzw. umgekehrt.

Beispiele:
f(x)=x^5-12x^4+7 => D=IR und W=IR (weil f ist 5. Grades, also ungeraden
                                                             Grades)
f(x)=x²+3 => D=IR; W=IR>=3 oder W=[3;unendlich[ (k. A. wie Ihr es gelernt habt zu notieren)
denn: die Grenzwerte für +- -unendlich sind plus-unendlich und x² kann nie kleiner als 0 werden, d. h. der niedrigste Wert, den f(x) annehmen kann ist 0+3=3

Definitionsmenge = "größte" Menge, Elemente aus dieser du einsetzen kannst: z.B 1/x ist die Def.Menge = {alles außer 0}

Wertemenge ist die Menge ={y:y=f(x)}. Die Elemente dieser Menge sind die Funktionswerte.

So kompliziert haben wir das nicht gemacht :0 wir hatten das mit rationale zahlen also warte wenn ich jetzt y=(x+1)^0,2 +1 hab wäre die Definitionsmenge R / {-1}? Und die Werte Menge R+ / {1}? irgendwie so haben die das gemacht

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@Linkboy007

Mit R wird aber normalerweise die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, während die Menge der rationalen Zahlen, also die Menge aller Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, die Bezeichnung Q hat.

R deckt die Zahlengerade lückenlos ab, Q dagegen nicht.

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