Bruchgleichung?

Ich kann folgende Aufgabe nicht lösen:

Ein Schiff benötigt für eine 180 km lange Strecke einen Sechstel weniger an Zeit als ein langsameres Schiff, dessen mittlere Geschwindigkeit um 5 km/h kleiner ist als die des schnelleren. Berechne die beiden Fahrzeiten.

Answer 1

[PWolff]

Wie üblich geht es erst einmal darum, die in Sprachform gegebenen Informationen in Formeln umzusetzen.

Wir haben

• eine Strecke mit Länge L = 180 km
• ein Fahrzeug (1), das diese Strecke L mit der Geschwindigkeit v1 in der Zeit t1 zurücklegt
• ein Fahrzeug (2), das diese Strecke L mit der Geschwindigkeit v2 in der Zeit t2 zurücklegt
• eine Beziehung zwischen den Zeiten: t1 und t2 ist gegeben - t1 ist um ein Sechstel kleiner als t2
• eine Beziehung zwischen den beiden Geschwindigkeiten: v2 = v1 - Δv, wobei Δv gegeben ist

Die größte Schwierigkeit sehe ich darin, die Beziehung zwischen den Zeiten in eine Formel umzusetzen. "Ein Sechstel weniger als t2" bezieht sich offensichtlich auf t2, also t1 = t2 - 1/6 * t2

Damit können wir an Gleichungen aufstellen:

L = 180 km

L = v1 t1

L = v2 t2

t1 = t2 * (1 - 1/6)

v2 = v1 - 5 km/h

Das sind 5 Gleichungen; an Größen haben wir

L, v1, t1, v2, t2

das sind 5 Stück. Damit ist das System gerade eindeutig bestimmt (falls die Gleichungen unabhängig voneinander sind).

Gesucht sind die Zeiten, also t1 und t2.

Ich hoffe, du kennst ein paar Verfahren, um derartige Gleichungssysteme zu lösen?

Answer 2

[d97879]

• L = S - 5
• (180 / S) = (6/5) * (180 / L)
• (180 / S) = (6/5) * (180 / (S - 5))
• 180 * 5 * (S - 5) = 6 * 180 * S
• 900S - 4500 = 1080S

S = 75

da L = S - 5, ist L = 70

Daher beträgt die Fahrzeit des schnelleren Schiffs für die 180 km lange Strecke 180/75 = 2,4 Stunden und die Fahrzeit des langsameren Schiffs beträgt 180/70 = 2,57 Stunden

Answer 3

[verreisterNutzer]

Mit dem Index "s" werden zum schnelleren Schiffe gehörige Werte und mit "l" die zum langsameren Schiff gehörige Werte bezeichnet. Δv ist die Differenz von 5 km/h.

$t_s=\frac{s}{v_s}$

Nun ist: $t_s=\frac{5}{6}t_l=\frac{5}{6}\cdot\frac{s}{v_l}=\frac{5}{6}\cdot\frac{s}{\left(v_s-Δv\right)}$

Also gleichsetzen der beiden Formeln für die Geschwindigkeit des schnelleren Schiffs:

$\frac{s}{v_s}=\frac{5}{6}\cdot\frac{s}{\left(v_s-Δv\right)}\ \ \ \ |\ :s\ \ |\ \cdot v_s\ \ \ |\cdot\ \left(v_s-Δv\right)$ $v_s-Δv\ =\ \frac{5}{6}v_s\ \rightarrow\ \frac{1}{6}v_s=Δv\ \rightarrow\ v_s=6\cdot5\ \frac{km}{h}=30\ \frac{km}{h}$

Fahrzeit für das schnellere Schiff: $t_s=\frac{180\ km}{30\ \frac{km}{h}}=\ 6\ h$

Fahrzeit für das langsamere Schiff: $t_l=\frac{6}{5}t_s=7,2\ h$