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Aufgabe zur Instrumentenstimmung

Eine Oktave bedeutet eine Erhöhung der Tonfrequenz um einen Faktor 2. In der sogenannten wohltemperierten Stimmung wird dieser Frequenzbereich gleichmäßig auf die zwölf Halbtöne verteilt, d.h. ein Halbton entspricht einer Frequenzerhöhung um einen Faktor 122.

Zwei Töne werden als wohlklingend empfunden, wenn sie in ihren (niedrigen) Obertönen teilweise übereinstimmen. Diesbezüglich ist die wohltemperierte Stimmung jedoch ein Kompromiss, die Obertöne verschiedener Grundtöne entsprechen einander nicht exakt, sondern nur annähernd.

Diese Frequenzdiskrepanz führt zu einer Schwebung, welche von professionellen Musikern zum Stimmen von Instrumenten genutzt wird.

1. Wenn wir vom Kammerton a' (440 Hz) ausgehen, welche Frequenzen haben dann das höhere d' (Quart, d.h. 5 Halbtonschritte aufwärts) und das e" (Quint, 7 Halbtonschritte aufwärts)?
2. Welche (niedrigen) Obertöne dieser Töne (d" bzw. e") entsprechen fast exakt einem Oberton des Grundtons (a')?
3. Welche Schwebungsfrequenz ergibt sich folglich, wenn diese Obertöne gleichzeitig erklingen?
4. Wieviel Zeit liegt jeweils zwischen zwei Maxima der Lautstärke dieser Schwebung?

Answer 1

[indiachinacook]

In der wohltemperierten Stimmung entspricht ein Halbtonschritt genau einem Faktor ¹²√2=1.059463.

• Eine Quart, also 5 Halbtonschritte, sind dann ein Faktor ¹²√2⁵=1.3348. Das liegt knapp an der rationalen Zahl 1⅓.
• Eine Quint, also 7 Halbtonschritte, sind dann ein Faktor ¹²√2⁷=1.4983. Das liegt knapp an der rationalen Zahl 1½.
• Die Obertöne der Quart liegen bei 2⋅¹²√2⁵, 3⋅¹²√2⁵, 4⋅¹²√2⁵ etc, das sind die Fak­to­ren 2.6696, 4.0045, 5.3393, 6.6742, 8.0090,… . Du siehst, daß das 3-, 6-, 9-, … -fache der Quint näherungsweise auch das 4-, 8-, 12-, … -fache des Grundtons ist.
• Die Obertöne der Quint liegen bei 2⋅¹²√2⁷, 3⋅¹²√2⁷, 4⋅¹²√2⁷ etc, das sind die Fak­to­ren 2.9966, 4.4949, 5.9932, 7.4915, 8.9898,… . Du siehst, daß der 2-, 4-, 6-, … -fache der Quint näherungsweise auch das 3-, 6-, 9-, … -fache des Grundtons ist.
• Wenn der Grundton ν₀=440 Hz hat, dann sind seine Obertöne 2ν₀, 3ν₀, 4ν₀, … also 880, 1320, 1760, … Hz.
• Die Quint wäre dann ν₀⋅¹²√2⁷=659.26 Hz und die Obertöne entsprechend 1318.51, 1977.76, 2637.02, 3955.53 Hz.
• Die Schwebung ist die Differenzfrequenz: Zwischen dem Dreifachen des Grund­tones 3ν₀=1320 Hz und dem Doppelten der Quint 2⋅¹²√2⁷⋅ν₀=1318.51 Hz liegen 1.49 Hz, also tritt eine Schwebung mit genau dieser Frequenz auf, das entspricht 1/1.49≈⅔ s Periodendauer.

Beachte, daß ich absolut nichts von Musik verstehe.