Betrag berechnen?

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5 Antworten

Für eine komplexe Zahl z mit dem Realteil a und dem Imaginärteil b gilt:

|z| = √(a² + b²)

Um die Zahl zuerst einmal in Real- und Imaginärteil eindeutig unterteilen zu können, musst Du das i im Nenner des Bruchs loswerden, indem Du mit (2 - i) erweiterst, damit Du danach die dritte binomische Formel anwenden kannst, wobei  zu reell -1 wird. Dann kannst Du einfach durch Ausklammern Real- und Imaginärteil "spalten".

Lösungsweg 2 ist korrekt!

Das kannst Du durch eine Gegenrechnung (klingt wie Grundschule, funktioniert aber auch tadellos bei komplexeren Aufgaben) auch einfach bestätigen:

Ergebnis: |z| = 1 bei a = 0,8 und b = -0,6

Gegenrechnung:
1 = √(0,8² + (-0,6)²)
1 = √(0,64 + 0,36)
1 = √1

Bei den beiden anderen Lösungswegen geht die Gegenrechnung nicht auf!

Bei Fragen einfach fragen.

LG Willibergi

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Hallo Denn0,

dein Lösungsweg 2 führt zwar zum richtigen Ergebnis, ist aber nicht ganz richtig. Siehe auch Antwort von DepravedGirl und Willy1729.

Richtig muss man so rechnen:
Aus z = 2/(2+i) - (i/5) entsteht durch Erweiterung des vorderen Ausdrucks mit (2-i)/(2-i) die Beziehung  z = 0,8 - 0,6i (ist nicht IzI !), wie von dir gerechnet.

Der Betrag von z = x + iy ist allgemein IzI = Wurzel(x² + y²), im vorliegenden Fall also:

IzI = Wurzel(0,8² + (-0,6)²) = Wurzel(0,64 + 0,36) = Wurzel(1) = 1

Es grüßt HEWKLDOe.

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Hallo,

Lösung 2 ist richtig.

Du erweiterst den ersten Bruch mit (2-i)/(2-i), um das i aus dem Nenner zu bekommen (dritte binomische Formel).

Dann bekommst Du
[2*(2-i)]/[(2+i)*(2-i)]-i/5=(4-2i)/(4-i²)-i/5=4/5-2i/5-i/5=4/5-i*3/5

Betrag ist die Wurzel aus (16/25+9/25)=Wurzel (25/25)=Wurzel (1)=1

Herzliche Grüße,

Willy

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z = (2 / (2 + i))  - i / 5


Dafür kann geschrieben werden :

z = (2 + 0 * i) / (2 + i)) - (1 / 5) * i

Es gibt folgendes :

(a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

mit

k = c ^ 2 + d ^ 2

u = (a * c + b * d) / k

v = (b * c - a * d) / k

Also :

a = 2 und b = 0 und c = 2 und d = 1

k = 2 ^ 2 + 1 ^ 2 = 5

u = (2 * 2 + 0 * 1) / 5 = 4 / 5

v = (0 * 2 - 2 * 1) / 5 = - 2 / 5

Also :

z = (4 / 5) - (2 / 5) * i - (1 / 5) * i

z = (4 / 5) - (3 / 5) * i

Für den Betrag einer komplexen Zahl gilt jetzt folgendes :

z = s + p * i

|z| = √(s ^ 2 + p ^ 2)

Auf dein Beispiel angewendet also :

|z| = √((4 / 5) ^ 2 + (- 3 / 5) ^ 2) = √((16 / 25) + (9 / 25)) = 1


Jeder deiner Lösungen auf deinem Bild, die als Ergebnis nicht 1 raus hat, ist falsch.

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Kommentar von DepravedGirl
17.07.2017, 06:36

*Jede deiner Lösungen ...

Deutsch am Morgen bringt Kummer und Sorgen ;-))

1

L3 hätte ich gesagt bin mir auch mit dem vorzeichen net sicher gib es halt mal in einem komplexe zahlen rechner ein

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