Berührungspunkt Tangente Kreis?
Wenn ich die Punkte A(x|y) und B(x2|y2) habe und der Punkt B der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius r ist, wie sind dann die Koordinaten von dem Berührungspunkt der Tangente von dem Punkt A ausgehend?
2 Antworten
Eine Kreisgleichung im Ursprungspunkt ist
Du kannst diese in x-Richtung verschieben wenn du für x einsetzt (x-x2) und auf der y-Achse kannst du verschieben wie gewohnt mit +y2. So hat dein Mittelpunkt B die Koordinaten B=(x2|y2)
Die Tangente tangiert den Kreis, hat also die gleiche Steigung wie am Kreis. Die Steigung rechnest du über die Ableitung f'(x) aus.
Jetzt sagst du Punkt A=(x3|y3) soll auf der Kreisgleichung f(x) sein. Die Tangente hat die Gleichung
t(x) = m*x+b
Dabei ist m = f'(x)
t(x) = f'(x=x3)*x+b
b bekommst du raus wenn du Punkt A in t(x) einsetzt.
f(x=x3) = f'(x=x3)*x+b = y3
f(x=x3) = f'(x=x3)*x3+b = y3
b = y3 - f'(x = x3) * x3
Damit lautet die Tangentengleichung für den Punkt A(x3|y3)
t(x) = f'(x = x3)*x+ y3 - f'(x = x3) * x3
mit y3 = f(x = x3)
t(x) = f'(x = x3)*x+ f(x = x3) - f'(x = x3) * x3
Das war ja jetzt ganz hohe Mathematik :D
Jetzt kann man mit dem Schieberegeler rumspielen und man hat eine Tangentengleichung für jeden Punkt auf dem Halbkreis gefunden.
Schau mal auf diese Webseite :
Deine Notation ist etwas ungünstig gewählt.
Ich verwende hier stattdessen die Notation :
A(x_a | y_a) und B(x_b | y_b) und r
Dieses Gleichungssystem musst du lösen :
I.) (x - x_b) ^ 2 + (y - y_b) ^ 2 = r ^ 2
II.) (x_a - x_b) * (x - x_b) + (y_a - y_b) * (y - y_b) = r ^ 2
Mal ein konkretes Beispiel :
B(2 | 3)
r = 5
A(- 5 | 10)
Das Gleichungssystem lautet dann :
I.) (x - 2) ^ 2 + (y - 3) ^ 2 = 25
II.) (- 5 - 2) * (x - 2) + (10 - 3) * (y - 3) = 25
Dieses Gleichungssystem lösen und man erhält die Berührungspunkte T_1 und T_2 :
T_1 ( (3 / 14) - (5 / 14) * √(73) | (67 / 14) - (5 / 14) * √(73) )
und
T_2 ( (3 / 14) + (5 / 14) * √(73) | (67 / 14) + (5 / 14) * √(73) )
Wie du sehen kannst gibt es 2 Berührungspunkte und nicht nur einen.