Berechnen Sie den Radius r der kleineren Kreise ?

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5 Antworten

Hierbei ist folgender mathematischer Satz wichtig:

Die Seitenhalbierenden (Höhen) eines gleichseitigen Dreiecks schneiden sich im Verhältnis 2:1.

Sei R der Radius des großen Kreises, h eine beliebige Höhe des gleichseitigen Dreiecks und r der Radius der kleinen Kreise, so gilt:

R = 2/3 * h + r

Denke dir nun ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Strecke BL, also 2/3 * h ist. Dessen Katheten sind somit r und 1/3 * h.

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich folgende Gleichung aufstellen:

(1/3 * h)² + r² = (2/3 * h)²

Durch Äquivalenzumformungen ergibt sich:

r = √((2/3 * h)² - (1/3 * h)²)
  = √(4/9 * h² - 1/9 * h²)
  = √(3/9 * h²)
  = √(1/3 * h²)
  = √(1/3) * h
  = 1/√3 * h
  = h/√3

Damit hast du deine zweite Gleichung, mithilfe der du nun ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen aufstellen kannst:

I  10 = 2/3 * h + r
II  r = h/√3

II' r * √3 = h

II'  in I:

10 = 2/3 * r * √3 + r                | Distributivgesetz
10 = r * (2/3 * √3 + 1)             | :(2/3 * √3 + 1)
r = 10/(2/3 * √3 + 1) ≈ 4,64

Der Radius der kleinen Kreise beträgt also etwa 4,64 cm. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast oder einen Schritt nicht nachvollziehen konntest, kommentiere einfach, damit ich dir helfen kann. ;)

LG Willibergi

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Hallo,

der Radius r des kleinen Kreises beträgt  4,641 cm.

Begründung:

Gehe von dem gleichseitigen Dreieck aus. Jede Seite dieses Dreiecks ist gleich 2r. Der Mittelpunkt des Dreiecks liegt auf der Höhe h (rot). Seine Höhe über der Basis ist (1/3)*h, weil sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks im Verhältnis 1:2 schneiden.

h²=4r²-r²=3r²

h=r*√3

Die Strecke LH ist dann r/√3

(LM3)²=r²+r²/3=4r²/3

LM3=(2r)/√3

R=LM3+r=r+(2r)/√3=10

(√3r+2r)/3=10

r*(√3+2)=10*√3

r=(10*√3)/(√3+2)=4,641

Siehe Skizze

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von beniceman
24.07.2016, 21:30

Danke schön :)

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Geht hier mit Handy schlecht, daher nur die Idee: Der Mittelpunkt im gleichseitigen Dreieck teilt die Höhen im Verhältnis 2/3 zu 1/3. Also ist 2/3 • h + r = R, wobei r der Radius des kleinen und R der Radius des großen Kreises ist. h = 2r /2 • √3. Einsetzen und nach r auflösen, fertig.

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Der Radius der kleineren Kreise müsste bei ungefähr 4,6 cm liegen. Wie man das allerdings berechnet, würde mich auch interessieren.

Es muss irgendwie auf trigonometrische Weise gehen.

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Kommentar von Willibergi
24.07.2016, 21:41

Gut geschätzt! (oder nachgemessen ^^)

Auf trigonometrische Weise ist das imho nicht möglich, da lediglich die Winkel des gleichseitigen Dreiecks gegeben sind, wobei sich beim Aufstellen einer Gleichung die Variablen in allen Fällen wegkürzen und eine wahre Aussage entstehen müsste. ;)

LG Willibergi

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Das gleichseitige Dreieck ist ja schon eingezeichnet. Ich würde erstmal versuchen die Höhe des Dreiecks zu bestimmen.

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