Begründen Sie, weshalb die relativen Extrempunkte des Graphen von f nicht absolut sein können?
Begründen Sie, weshalb die relativen Extrempunkte des Graphen von f nicht absolut sein können.
3 Antworten
Hi muellermede,
Die Antwort wird schonmal etwas länger und bezieht sich hauptsächlich nur auf einen Teil der Aufgabenstellung, da ich mit der Frage nach der Lage der Extrempunkte etwas verwirrt bin. Ich weiß nicht mehr was man mit Lage meint. Die Koordinaten? Dann kann man eigentlich nur die x-Koordinate (x-Koordinaten der Nullstellen von Gf') angeben, da die y-Koordnaten aufgrund der zulässigen Hinzunahme einer Konstante beim Aufleiten, weiter nach oben oder unten verschoben werden kann. Kannst du mir das vielleicht erklären?
Nun aber zu der restlichen Frage:
Da es sich hier bei der Parabel um den Graph der Ableitungsfunktion von f handelt, kann man folgendes schließen:
1. Wir haben im Graphen von f zwei Extrempunkte (eig. nichts Neues...steht ja in der Angabe). Dies ist an den beiden Nullstellen in Gf' erkennbar.
2. Beim ersten Extrempunkt von links nach rechts (- Unendlich im x-Koordinatenbereich zu + Unendlich) muss es sich mindestens um ein lokales/relatives Maximum handeln, da der Ableitungsgraph vom positiven in den negativen y-Koordinatenbereich "übergeht". Kurz zur Wiederholung: Die y-Kordinate eines jeden Punktes auf dem Graphen der Ableitung gibt die lokale Steigung an der gleichen x-Koordinate im Stamm-/Ursprungsfunktiongraphen - hier Gf - an. Das bedeutet der Graph von f hat eine positive Steigung, dann kurz keine Steigung (Nullstelle) und folgend eine negative Steigung (er fällt).
3. Bei dem zweiten Extrempunkt muss es sich mindestens um ein lokales/relatives Minimum handeln, da der Graph von f' vom negativen in den positiven y-Koordinatenbereich übergeht.
4. Der Graph von f' ist eine Parabel. Dies bedeutet es existiert nur ein Extrempunkt und der Graph kommt von links nach rechts entweder von - oder + Unendlich im y-Koordinatenbereich und geht wieder in die gleiche Richtung zurück. Hier kommt und geht er ins + Unendliche.
Daraus lässt sich schließen dass der Graph von der Stamm-/Ursprungsfunktion von links nach rechts bis zum ersten Extrempunkt monoton steigt (kommt aus dem -Unendlichen y-Bereich) dann bis zum nächsten Extrempunkt monoton sinkt und dann wieder monoton steigt (geht in den +Unendlichen y-Bereich). Basierend auf dieser Erkenntnis können die Extrempunkte nur lokal/relativ sein, denn es gibt Punkte des Graphen die höhere oder niedrigere y-Koordinaten als die Extrempunkte haben (mehr oder minder die Definition von lokalen/relativen Extrempunkten)
Ich hoffe meine Antwort war hilfreich. Bei Anmerkungen oder Nachfragen gerne kommentieren.
Mit freundlichen Grüßen
Martin Greenwood
Die Ableitungsfunktion ist eine Funktion 2. Grades, weshalb die Funktion f eine Funktion 3. Grades ist. Eine Funktion 3. Grades verläuft immer in die Unendlichkeit bzw. negative Unendlichkeit, da nur 3 mal die "Richtung" geändert wird.
Zum Beispiel bei Parabeln geht es ja links und rechts in die Unendlichkeit bzw. negative Unendlichkeit, aber es ist entgegengesetzt zum Minimum/Maximum, weshalb es bei Parabeln auch ein absolutes ist.
Um die eigentliche Frage also zu beantworten: Für x < -1 ist der Anstieg der Funktion immer positiv; für x > 2 ebenfalls. Dazwischen ist der Anstieg fallend.
Extrem vereinfacht gezeichnet wäre die Funktion folgendermaßen, wobei das Maximum und Minimum nicht insgesamt das "stärkste" Extrem ist, da die Funktion rechts in Richtung Unendlichkeit geht und links in Richtung negativ unendlich (Unendlich ist größer als das Maximum; Minus unendlich ist kleiner als das Minimum)
Bei Fragen gerne Fragen! Bei Fehlern bitte korrigieren!
Wenn du die tatsächliche Funktion nicht kennst und nur dieses kleine Bild hast, dann könntest du ja “rauszoomen” und globale Extrempunkte entdecken.