Begründe, dass zwischen ⅓ und ⅔ noch unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen?

Die oben genannte Frage ist die Frage die in meinem Mathebuch gestellt wird. Ich weiß nicht wie ich das begründen kann. Kann mir jemand da weiterhelfen?

Answer 1

[Volens]

Zwischen zwei Zahlen kannst du immer noch mindestens eine Zahl in der Mtte finden. Das ist leicht.
Und dann kannst du wieder eine Mitelzahl finden, und dann immer wieder, unendlich viele Male.

Du brauchst nur erweitern
1/3 = 2/6
2/3 = 4/6

Dazwischen passt 3/6 usw.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Answer 2

[Jangler13]

Der Abstand von 1/3 zu 2/3 ist 1/3.

Es reicht eine Folge von rationalen Zahlen a_n zu finden, für diw gilt:

1/3<a_n<2/3 für alle n

Eine mögliche Folge wäre:

a_n= 1/3+1/3*(1/2)^(n+1)

Da 1/3*1/2^(n+1) >0 für alle natürlichen n gilt, ist a_n>1/3

Da die folge monoton fällt (a_n<a_(n+1))

Und a_1 < 2/3 ist , gilt auch a_n<2/3

Außerdem ist jedes a_n eine rationale Zahl (da es durch Addition und Multiplikation von Rationaler zahlen entsteht)

Somit existieren unendlich viele rationale Zahlen zwischen 1/3 und 2/3

Answer 3

[Halbrecht]

ich würde es so machen:

weil man die Differenz 2/3 - 1/3 = 1/3 erweitern kann

mit k aus den ganzen Zahlen Z .............
beispiel
k = -5 ............-5/-15 ............man kann also 1 , 2 , 3 oder 4/15 dazwischen packen