wieso existiert zischen zwei rationalen zahlen immer eine weitere rationale zahl?
wär nett wenn mir das kurz wer erklären könnte, danke :)
7 Antworten
Ich nehme zwei Rationale Zahlen:
a/b und c/d
wobei a und c ein Element der ganzen Zahlen und b und d ein Element der Natürlichen Zahlen (ohne Null) ist.
Jetzt rechne ich:
(a/b + c/d)/2 sprich den Mittelwert der beiden Zahlen =>
(ad+cb/bd)/2 = (ad+cb)/(2*bd)
ad+cd muss jetzt weil a und c ganze Zahlen sind ebenfalls eine ganze Zahl sein.
bd muss weil b und d Natürliche Zahlen sind eben so eine natürliche Zahl sein und somit ist auch 2bd eine natürliche Zahl.
Wir wissen jetzt dass das arithmetische Mittel zweier Rationaler Zahlen also wieder eine Rationale Zahl ist.
Jetzt sagen wir:
a ist eine Rationale Zahl und b ist eine Rationale Zahl und a > b.
Jetzt bilden wir den Mittelwert (a+b)/2 wobei wir von oben wissen dass dieser ebenfalls eine Rationale Zahl ist:
a > (a+b)/2
2a > a+b
a > b und wir haben damit gezeigt, dass der Mittelwert in diesem Fall immer kleiner als die Zahl a sein wird.
b < (a+b)/2
2b < a+b
b < a
Damit haben wir auch gezeigt, dass der Mittelwert größer als b sein muss.
Daraus folgt:
b < (a+b)/2 < a
Und jetzt haben wir im Endeffekt gezeigt, dass es zwischen zwei Rationalen Zahlen immer mindestens eine weitere Rationale Zahl gibt und zwar den Mittelwert dieser beiden Zahlen.
Aber auch wenn das offensichtlich stimmt, liegen zwischen den Rationalen Zahlen immer noch irrationale Zahlen.
Im Endeffekt gibt es sogar mehr Irrationale Zahlen als Rationale Zahlen. (obwohl beide Mengen unendlich groß sind)
Einfach weil es unendlich viele verschiedene Brüche gibt.
Nehmen wir mal die Bruchzahlen zwischen 0 und 1.
(a-1)/(b-1) ist solche Bruch wenn b > a ist, und a & b natürliche Zahlen sind.
Jetzt nehmen wir (a+1)/(b+1).
1 > (a+1)/(b+1) > (a-1)/(b-1)
Aber jetzt kannst du noch den Bruch a/b nehmen.
Dieser ist größer als (a-1)/(b-1), aber kleiner als (a+1)/(b+1).
Dass dem so ist sieht man daran, dass man für immer größere a und b näher und näher an die 1 herankommt.
Damit ist bewiesen, dass zwischen zwei rationalen Zahlen, immer noch eine weitere rationale Zahl existiert.
Das krasse ist nun, dass es zwischen 1 und zwei unendlich viele rationale Zahlen gibt. So auch zwischen 2 und 3, oder 3 und 4, usw.
Daher gibt es unendlich mal mehr rationale als natürliche Zahlen!!
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR
Weil man in der Mathematik unendlich genau werden kann und für eine festgelegte Zahl somit nicht wirklich die eine Zahl benennen kann, die direkt daneben liegt.
Naja, es ging hier nur um rationale Zahlen und wie man den dazugehörigen Bruch gestaltet, unterliegt auch der Unendlichkeit in der Zahlenmenge.
zwischen 2 und 3 liegt meinetwegen 2,5, eine Rationale Zahl
zwischen 2,5 und 3 liegt 2,75, eine rationale Zahl
zwischen 2,75 und 3 liegt 2,8, eine rationale Zahl
zwischen 2,8 und 3 liegt 2,9, eine rationale Zahl
zwischen 2,9 und 3 iegt 2,95, eine rationale Zahl
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Addiere die beiden rationalen Zahlen => rationale Summe,
teile diese Summe durch 2 => rationale Zahl, die zwischen den beiden ursprünglichen Zahlen liegt (=Mittelwert)
Und das kannst du so mit ALLEN rationalen Zahlen machen :-)
Dann könnte dieser Nachbar aber immer noch irrational sein.