Begrenztes Wachstum. Es muss eine Differentialgleichung erstellt werden. Kann mir jemand helfen?
In einer Stadt gibt es 120 000 Haushalte. Man vermutet, dass jeder dritte Haushalt auf eine neue digitale Fernsehaufnahmetechnik umsteigen möchte. Eine Firma geht davon aus, dass die Zunahme des Verkaufs bei Markteinführung am größten war und modelliert die Verkaufszahlen mit begrenztem Wachstum. Sie macht dabei die Annahme, dass die Zunahme des Absatzes pro Monat immer 12% der noch möglichen Verkäufe ausmacht (x: Zeit in Monaten).
a) Wird die Firma im ersten Jahr 30000 Geräte verkaufen?
b) Wann werden 50% der Haushalte ein solches Gerät haben?
c) Wann werden alle Haushalte ein Gerät haben?
d) Begründe, dass A(x) = -40000 * 0,88^x + 40000 ein passendes Modell ist.
Wäre super, wenn mir jemand Helfen könnte. Mfg
2 Antworten
Formeln zum beschränkten Wachstum:
f(x) = S - ( S - f(0) ) a^x mit 0 < a < 1,
f(x) = S - ( S - f(0) ) e^(-kx) mit k = -ln(a).
S = 40.000 (jeder dritte)
f(0) = 0
Für beschränktes Wachstum gilt die Differentialgleichung
f '(x) = k ( S - f(x) ).
k = 0,12 = 12%.
Also ist die Funktionsgleichung:
f(x) = 40.000 - 40.000 e^(-0,12x) = 40.000 ( 1 - e^(-0,12x) ).
a) f(x) = 30.000
30.000 = 40.000 ( 1 - e^(-0,12x) )
0,75 = 1 - e^(-0,12x)
e^(-0,12x) = 0,25
-0,12x = ln(0,25)
x = ln(0,25) / (-0,12)
x = 11,552
Antwort: Ja.
b) 20.000 = 40.000 ( 1 - e^(-0,12x) )
0,5 = - e^(-0,12x)
x = ln(0,5) / (-0,12)
x = 5,776
Antwort: Nach 5,776 Monaten.
c) Antwort: Nie.
Ich danke dir :)
Habe die Antwort aber auch gerade erst geschrieben. Er wird es noch nicht gesehen haben, vermute ich mal.
Ja so schnell war ich nicht, man hat ja auch anderes zutun stekum.. Vielen dank für die ausführliche Antwort war auf jedenfall hilfreich :)
Da finam Dir kein Danke gibt (wie die meisten FS), mach ich das halt.