Bedeutung der Definition Konvergenz stetiger Funktion?
hallo,
studiere gerade Physik und in Mathe fangen wir mit stetigen Funktionen an. Die erste Definition lautet folgendermaßen. kann mir jemand erklären was das bedeutet. ich verstehe nichts. Was genau bringt das?
2 Antworten
Ich verstehe auch nichts. Die Definition ist überschrieben mit "convergence for functions." Letztlich geht es aber um Stetigkeit, das Thema, dass ihr gerade angeht. Ich finde diesen Zugang zumindest unkonventionell, was nicht a priori schlecht sein muss, aber in diesem Fall meiner Meinung nach das Verständnis erschwert. Ich hab das fünf mal lesen müssen.
Zuerst einmal ist die Idee hinter Stetigkeit, dass eine Funktion keine Sprünge hat. Bei der Beschleunigung eines Autos ist es z.B. nicht so, dass die Geschwindigkeit plötzlich von 10 km/h auf 50 km/h springt. Nun will ein Mathematiker das Ganze mathematisch präzise erfassen. Denn erstens ist die Sprungdefinition nicht ganz richtig (es gibt auch Funktionen ohne Sprünge, die man aber trotzdem nicht als stetig ansehen will) und zweitens müsste man auch Sprung erst definieren. Also überlegt man sich, was bei einem Sprung schief läuft. Sagen wir mal wir haben eine Funktion f mit f(x)=1 für x>=0 und f(x)=0 für x<0. Wenn ich mich der 0 von links nähere, ist der Wert der Funktion 0, aber in 0 dann plötzlich 1. Nähere heißt einfach ich wähle eine gegen 0 konvergente Folge, z.B. (-1/n). Es gilt:
Aber:
Eigentlich will ich aber, dass gilt:
Und das nicht nur für (-1/n), sondern jeder Folge, die gegen 0 konvergiert. So komme ich zu der Definition. Eine Funktion ist stetig in a, falls für jede gegen a konvergierende Folge (x_n) (also jede Näherung an a), f(x_n) gegen f(a) konvergiert. Nähere ich mich a, dann muss sich f(x) auch f(a) nähern.
Ist das was ich reingeschickt habe das folgenkriterium.