Aufstellen von ganzrationaler Funktion mit 4 Unbekannten?
Eine kubische Funktion (ax3+bx2+cx+d) verläuft durch die Punkte A (-1/11), B (1/3), C (2/-1) und D (4/-39).
2 Antworten
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Gleichungen
Ansatz:
f(x) = a x³ + b x² + c x + d
Die Funktion soll durch die Punkte
A(-1| 11)
B( 1| 3)
C( 2| -1)
D( 4|-39)
verlaufen. Demnach soll
f(-1) = 11
f( 1) = 3
f( 2) = -1
f( 4) = -39
sein. Also soll
a * (-1)³ + b * (-1)² + c * (-1) + d = 11
a * ( 1)³ + b * ( 1)² + c * ( 1) + d = 3
a * ( 2)³ + b * ( 2)² + c * ( 2) + d = -1
a * ( 4)³ + b * ( 4)² + c * ( 4) + d = -39
sein. Also soll
- a + b - c + d = 11
a + b + c + d = 3
8 a + 4 b + 2 c + d = -1
64 a + 16 b + 4 c + d = -39
sein.
Nun löst man dieses lineare Gleichungssystem und erhält:
a = -1
b = 2
c = -3
d = 5
Demnach ist die gesuchte Funktion f gegeben durch:
f(x) = - x³ + 2 x² - 3 x + 5
Ja, und? Man nehme die 4 gegebenen Punkte, setze sie in die Gleichung ein und bekommt dann 4 Gleichungen zur Bestimmung der unbekannten Parameter a, b, c und d. Ist eine etwas mühselige Rechnerei, birgt aber keine sonderlichen Schwierigkeiten.