Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte?
Hallo,
wir haben am Gymnasium gelernt, dass man für ein Quantenobjekt nur eine Wahrscheinlichkeit in einem Raumbereich für den Aufenthalt darin angeben kann. Aber warum ist das so? Also warum kann man nicht einfach sagen, dass sich ein Quantenobjekt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit an einem Punkt aufhält?
Dann würde ja immer noch gelten, dass das Objekt keine klassische Bahn macht.
Danke
2 Antworten
Mathematisch betrachtet ist es rein logisch:
Wir haben zu einem Quantenobjekt eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die den Ort angibt. Um eine Wahrscheinlichkeit zu bekommen, müssen wir das Integral dieser Funktion über ein bestimmtes Intervall bestimmen. Also ein Raumbereich. Die Intervallgröße für einen genauen Punkt wäre 0. Aber da ist das Integral dann auch 0. Also ist die Wahrscheinlichkeit 0, dass es genau an einem Punkt ist.
Man kann es auch physikalisch betrachten:
Was ist denn ein Punkt im Raum? Ein Punkt ist eine exakte Beschreibung eines Ortes. Ein unendlich kleiner Ort, ohne jegliche Ausdehnung. Genau genommen kann überhaupt kein Objekt genau an diesem Ort sein. Man kann immer näher heran zoomen, irgendwann sieht man, dass das Objekt nicht genau an diesem Punkt ist. Das lässt sich schwer beschreiben.
Danke,
es gibt aber keine Begründung, die auf die Quantenphysik zurückgreift, oder? Als ich meine Mitschüler fragte, meinten sie, dass es kein Punkt sein darf, weil man ja ein Quantenobjekt nie einem Punkt zuordnen kann, außer bei Wechselwirkung. Meine Gegenantwort war, dass das auch dann berücksichtigt wird, wenn es ein Punkt ist, da ich ja nur eine Wahrscheinlichkeit angebe.
Auch wenn es erst ein Jahr her ist weiß ich das leider nicht mehr. Ich hab solche Dinge immer gerne mathematisch begründet, das fand ich einfacher als physikalisch.
Ich würde es jetzt stumpf mit der heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation begründen. Wenn das Teilchen an einem Punkt ist, dann bedeutet das das ich seine Position genau kenne. Geht halt nicht weil dann der Impuls komplett unbekannt sein müsste, um die Gleichung zu erfüllen.
Ja aber, das gilt ja nur fürs messen. Außerdem kann man nicht sagen, dass sich das Objekt in dem Bereich befindet, sondern nur eine Wahrscheinlichkeit. Daher hat man ja auch tatsächlich nicht sagen, dass der Ort kleiner ist. Oder : Wenn es überall nur Punkte sind, dann ist ja delta_x verkleinert, weil es überall so ist. Aber dennoch: es wird ja nicht gemessen.
Dann hätte ich noch eine weitere Frage, denn du erscheinst als könntest du sehr gut erklären:
- Die Wahrscheinlichkeitsdichte, trägt nur den Namen "Dichte", weil es auf eine Ausdehnung bezogen ist, oder? Also man muss es mit der Ausdehnung multiplizieren um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Und es trägt nicht den Namen Dichte, weil es man ein gewisses Maß an Wahrscheinlichkeit vorfindet, wie bei der normalen Dichte
- Das Betragsquadrat der Psi-Funktion, also die Dichte, bezieht sich nun also auch immer auf eine Ausdehnung. Jedoch kann es ja dann immer zu Überschneidungen der Bereiche kommen, da ja dieser BEreich immer zu einem bestimmten Punkt angegebn wird
Ich würde nicht von "Aufenthaltswahrscheinlichkeit" reden.
Dieses Wort suggeriert, dass das eigentliche Teilchen eben doch ein Kügelchen oder Pünktchen mit genauem Aufenthaltsort sei, den wir bloß nicht kennen, ehe wir mit einem Array aus winzigen Detektorzellen den auf die Größe der Zelle genauen Aufenthaltsort messen.
Tatsächlich ermitteln wir jedoch lediglich einen auf die Größe einer Detektorzelle genauen Ort.
Die Schlussfolgerung, das Teilchen sei auch unmittelbar vor der Messung genau da gewesen, ist eine Überinterpretation. Alle Experimente, die es zum Thema Quantik gibt, sprechen gegen die Vorstellung von einem "unter der Decke" sehr wohl bestimmten und nur nicht bekannten Aufenthaltsort.
Ich würde eher im Einklang mit "Kopenhagen" behaupten, dass erst die Messung selbst diesen "Aufenthaltsort" kreiert, und zwar deshalb, weil es das "Teilchen" als kleines Kügelchen gar nicht gibt. Es ist gar kein "Ding", sondern die elementare Anregung eines Feldes, ähnlich wie die Schwingung einer Saite, nur eben als etwas Elementares. Weil es elementar ist, kann vom Detektor-Array eben nur eine Zelle ganz und die anderen gar nicht ansprechen. Dieses "Korpuskelhafte" ist also ein Artefakt der Ortsmessung.
Die Größen der Physik sind operationalistisch definiert. D.h. Man braucht eine Angabe wie man die Größe messen kann. Dabei hat sich herausgestellt, dass Messungen immer mit Ungenauigkeiten behaftet sind.
Beispiel: Wenn ich mit einem Thermometer normaler Bauart die Temperatur des Wassers eines Hallenbades messe, dann verursacht die Messung keine große Temperaturänderung des Hallenbades. Allerdings weiß ich dann auch nicht ob die Messung an einer anderen Stelle des Hallenbades das gleiche Messergebnis erzielt hätte. Wenn ich aber mit dem gleichen Thermometer dir Temperatur eines Tautropfen messen möchte, dann verändere ich durch die Messung die Temperatur des Tautropfens so sehr, dass das Meßergebnis mehr über die Temperatur des Thermometers vor der Messung aussagt als über die Temperatur des Tautropfens vor der Messung.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Quantenobjekt in einem kleinen Raumbereich um einen bestimmten Punkt herum zu sein ist umso kleiner je kleiner das Raumgebietes ist und hängt von der speziellen Lage des Raumgebietes ab. Die Wahrscheinlichkeit für ein Quantenobjekt an einem bestimmtem Punkt zu sein ist deshalb vor der Messung für alle Punkte Null. (null mal Etwas ist Null)
Gruß von Littlethought.
Danke, aber
- warum wird die Wahrscheinlichkeit null wenn man den Raum immer kleiner macht? Es könnte ja auch ein Minium geben, dass nicht null ist.
- was hat die Aussage über die Quantenobjekte mit deinem Beispiel und Aussagen von oben zu tun
Zu 1. Die Wahrscheinlichkeit ist das Volumenintegral über dem Betragsquadrat der Wellenfunktion. Die Wellenfunktionen sind stetig differenzierbare Funktionen. Das Integral einer stetig differnzierbaren Funktion ist Null wenn der Integrationsbereich Null ist.
Zu 2. Weil aus dem Zwang heraus eine Messmethode angeben zu müssen die Welleneigenschaften und damit die Unschärferelation folgen.
Danke, jetzt ist es mir schon ein wenig klarer
- Die Psi-Funktion und deren Betragsquadrat sind ja aber automatisch so modelliert, dass sie sich auf einen Raum delta_v um einen Ort x beziehen, also wie willst du dann diesen Raum immer weiter verkleinern
- Kannst du diese Folgerung aus dem Punkt 2 näher erläutern
- Nein. Die Psi Funktion ergibt sich aus dem jeweiligen Ansatz z.B. entsprechend der Schrödingergleichung mit den entsprechenden Potentialen. Die Psi-Funktion selbst hat keine Entsprechung in der Realität.
- Die Versuchsanordnung bestimmt das Interferenzwellenfeld des Quantenobjekts. Für das Elektron des H-Atoms stellt der Atomkern die Umgebung (d.h.die Versuchsanordnung) dar, die das Interferenzwellenfeld bestimmt.
Danke, aber die Psi-Funktion hat doch einen Sinn in der Realität. Denn sie symbolisiert die Materie-Welle.
Jein. Die Materiewelle ist eine mathematische Hilfskonstruktion. Welche physikalische Bedeutung sollte denn der negative Wert einer Materiewelle denn haben? Als Wahrscheinlichkeit kann dieser Wert nicht interpretiert werden, denn die Wahrscheinlichkeiten haben nur Werte zwischen Null und Eins. Genau dies war die Kritik Einsteins am der Quantenmechanik. Die Objekte der Theorie haben an manchen Stellen keine Entsprechung in der Realität. Die Quantenmechanik ist in diesem Sinne keine wissenschaftlich realistische Theorie..
Danke vielmals,
ich bin in der 12. an einem Gymnasium....also inwiefern kommt ein negativer Wert einer Psi-Funktion vor
Die Materiewelle ist eine mathematische Hilfskonstruktion.
Das sehe ich nicht so. Ich bin Schulzist, nach Prof. H. Schulz, der u.a. "Physik mit Bleistift" geschrieben hat. In seinem zweiten Buch über Quantenstatistik schreibt er ausdrücklich "das Elektron ist ψ", und so sehe ich das auch.
Welche physikalische Bedeutung sollte denn der negative Wert einer Materiewelle denn haben?
Das negative Vorzeichen ist lediglich ein Teil der Information über die Phase φ bzw. den Phasenfaktor exp(i∙φ), die sich einer Messung entzieht. Entziehen muss, sogar.
Als Wahrscheinlichkeit kann dieser Wert nicht interpretiert werden,...
Behauptet auch niemand. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Ortsmessung ist ψ*ψ = |ψ|² und nicht ψ selbst. Dabei ist ψ* das Komplex Konjugierte von ψ.
Interferenzen lassen aber erkennen, dass der Wahrscheinlichkeitsverteilung dieses ψ selbst zugrunde liegen muss. Die Phase oder zumindest so etwas wie eine Phase muss existieren, damit es in bestimmten Punkten eine Phasendifferenz von π geben kann und destruktive Interferenz entsteht. Dabei ist es drietensegal, ob da Materiewellen mit den Phasen 0 und π oder ½π und 3⁄2π aufeinandertreffen.
Niemand erwartet auch wirklich, dass ψ, wie von SCHRÖDINGER formuliert, das "Ding an sich" sei. ψ ist die bestmögliche mathematische Beschreibung von etwas wie einem Teilchen.
Es müsste im Prinzip auch gar nicht komplexwertig sein. Der Phasenfaktor könnte z.B. statt exp(iφ) ein abstrakter Vektor der Form (cos(φ); sin(φ)) sein.
Entscheidend ist, dass es mathematisch genauso gut funktioniert. Unterschiedliche Beschreibungen, die zueinander isomorph sind, leisten dieselbe Arbeit.
Mit Hilfe der de Broglie-Beziehung Wellenlänge L = h / (m*v) wird den sich bewegenden Elektronen eine Wellenlänge zugeordnet, mit der sich die Lage der Maxima und Minima der Intensität beim Doppelspaltversuch berechnen lässt. Den sich bewegenden Elektronen müsste auch eine Wellenfunktion zugeordnet werden können, deren Amplitudenquadrat deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit bestimmt. Der Ansatz Psi( x ; t ) = A × cos( k x - wt ) kann aber für ein freies Teilchen nicht gelten, da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit p(x; t ) = | Psi( x ; t ) | 2 eines freien Teilchens für jeden Punkt des Raumes den gleichen Wert haben muss.
Psi( x ; t ) = A * [ cos( k x - v t ) + i * sin( k x - v t ) ] = A * e i (kx-vt) löst das Problem. Die Wellenfunktionen der Quantenphysik sind also komplexe Funktionen. Es besteht die Ansicht, dass komplexe Zahlen nicht die Maßzahlen einer physikalischen Realität sein können. SlowPhil hat hierzu noch weitere Gedanken dargestellt. Darauf möchte ich jetzt hier aber nicht weiter eingehen.
⬆️ das was er sagt. Hätte es genau so erklärt 😋😅