Auf R x R definierte Relationen?
Hallo,
in folgender Aufgabe seien auf RxR Relationen definiert.
Schon das "auf R x R" kommt mir spanisch vor, denn eigentlich bedeutet "auf" bereits, dass es es sich um eine Ebene handelt. "Auf R" wäre doch eigentlich korrekt. Soll man daraus schlussfolgern, dass man sich irgendwie im dreidimensionalen Raum befindet?
Dann die eigentliche Frage: was hat es mit diesem (x1, x2)R(y1, y2) auf sich? Soll man x1 und x2 als Koordinate in der R Ebene nehmen? So macht man das ja eig. bei Paaren. Das Problem ist aber, dass ja keinerlei Aussage über x2 und y2 existiert.
Bis jetzt gings immer nur um sowas wie xRy mit z.B. x < y - kein Problem.
Ich würde mir das gern in Gitternetzdarstellung skizzieren, jedoch komme ich dann bei allen auf eine vollständig gefüllte Ebene, bei der dann alle drei unten stehenden Eigenschaften gelten würden.
1 Antwort
Hallo,
das ist eine Aufgabe, die auf die Äquivalenzrelation vorbereitet, denn diese ist eine zweistellige Relation zwischen zwei Mengen A und B, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Eine zweistellige Relation wird zwischen zwei Mengen A und B definiert.
Eine zweistellige Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts AxB.
Spricht man von einer zweistelligen Relation auf einer Menge A, so ist der Fall B=A gemeint, d.h. die Menge B stimmt mit der Menge A überein. Demnach ist eine zweistellige Relation auf einer Menge A eine Teilmenge des kartesischen Produkts AxA.
Übersetzt man diese Sprache auf deine Aufgabe, gilt A = ℝxℝ und B = A.
Ob du hier die Menge ℝxℝ als "Ebene" oder als eine Menge von reellen Zahlenpaaren ansiehst, ist unerheblich.
Eine zweistellige Relation auf der Menge ℝxℝ ist also eine Teilmenge des kartesischen Produkts (ℝxℝ)x(ℝxℝ). Es kann sein, dass dich das zunächst auch verwirrt, aber das ist normal, da es etwas abstrakt ist.
Nehmen wir die Aufgabe (a).
Ist die in (a) definierte Relation reflexiv, d.h. gilt für jedes Element a ∈ ℝxℝ: aRa ?
D.h. gilt für alle (x₁ , x₂) ∈ ℝxℝ: (x₁ , x₂)R(x₁ , x₂) ?
Laut Definition ist dies der Fall, wenn die ersten Komponenten der "beiden" Elemente (x₁ , x₂) und (x₁ , x₂) identisch sind, und das ist hier der Fall, denn die erste Komponente von (x₁ , x₂) ist x₁ , und die erste Komponente des "zweiten" Elements (x₁ , x₂) ist auch x₁, es gilt x₁ = x₁. Also gilt (x₁ , x₂)R(x₁ , x₂) für alle (x₁ , x₂) ∈ ℝxℝ.
Ist die Relation symmetrisch, d.h. gilt für a, b ∈ ℝxℝ, dass aus aRb folgt: bRa ?
Seien (x₁ , x₂), (y₁ , y₂) zwei Elemente aus ℝxℝ mit (x₁ , x₂)R(y₁ , y₂).
D.h. es gilt x₁ = y₁ . Dann gilt aber auch y₁ = x₁ und damit gilt (y₁ , y₂)R(x₁ , x₂), also ist R symmetrisch.
Es fehlt noch die Untersuchung der Transitivität, die ich dir überlasse.
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Wie du siehst, ist es bei der Argumentation nicht wichtig , ob man sich unter ℝxℝ eine Ebene oder nur eine Menge vorstellt.
So arbeitest du dich an allen in (a) bis (e) definierten Relationen ab.
(Z.B. ist (b) nicht symmetrisch und (d) nicht transitiv)
Gruß