Abstand einer Ebene vom Koordinatenursprung berechnen?
Heyoo,
ich habe eine neue Mathe-Aufgabe heute bekommen, war aber total überfordert, da ich mit den Ebenen irgendwie nichts anfangen kann.
Hier die Aufgabe:
Ich bitte um Hilfe!
2 Antworten
a) diese Form der Ebenengleichung ist mir nicht bekannt.
(1/-2/2) ist das der Stützpunkt A(1/-2/2) → Ortsvektor a(1/-2/2) ?
Normalengleichung der Ebene E: (x-a)*n=0
n(nx/ny/nz) ist der Normalenvektor der Ebene.steht senkrecht auf der Ebene und kann beliebig verschoben werden.
Hesse´sche Normalform der Ebene E: (x-a)*no=0
no(nox/noy/noz) ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene Betrag |no|=1
no=nx/|n|+ny/|n|+nz/|n|
Betrag |n|=Wurzel(nx²+ny²+nz²)
Abstandsformel Punkt -Ebene
d=d(P,E)=|(p-a)*no|
gegeben:Der Punkt P(x/y/z) → Ortsvektor p(x/y/z)
Stützpunkt der Ebene A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az)
Normalenvektor der Ebene n(nx/ny/nz) → daraus errechnet man den Normaleneinheitsvektor no(nox/noy/noz)
Mit P(0/0/0) → p(0/0/0) eingesetzt
Betrag d=|[(0/0/0)-(ax/ay/az)]*(nox/noy/noz)|
d=|(-1*(ax/ay/az)]*nox/noy/noz)|
also Abstand der Ebene vom Ursprung des x-y-z-Koordinatensystems
Betrag d=|-1*(ax*nox+ay*noy+az*noz)|
Skalarprodukt a*no=ax*nox+ay*noy+az*noz
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnet man am einfachsten
mit der Formel Betrag d=|(p-a)*no|
oder mit dem Lotfußpunktverfahren
1) gegeben die Normalform der Ebene E: (x-a)*n=0
der Punkt P(x/y/z) → Ortsvektor p(px/py(pz)
Den Punkt P(x/y/z) benutzt man als Stützpunkt (Stützpunkt) einer Geraden (Lotgerade)
Diese Gerade steht senkrecht auf der Ebene und somit ist der Richtungsvektor der Geraden auch der Normalenvektor der Ebene
m(mx/my/mz)=n(nx/ny/nz)
also g: x=(px/py/pz)+r*(nx/ny/nz)
2) nun den Schnittpunkt (Fußpunkt) mit der Ebene berechnen → eingesetzt
[(px/py/pz)+r*(nx/ny/nz)-(ax/ay/az)]*(nx/ny/nz)=0
daraus ergibt sich der Geradenparameter r=...
eingesetzt in die Gerade,ergibt den Fußpunkt F(fx/fy/fz) (Schnittpunkt mit der Ebene
Abstand von 2 Punkten im Raum Betrag d=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
Zum Verständnis hilft dir vielleicht dieser Auszug aus meinem alten Unterrichtskonzept.
Das ganze Unterrichtskonzept findest du unter
https://www.dropbox.com/sh/x56zbd1s9h9s199/AACTraaBO6hPukv2PMkjFB-_a?dl=0
Es sind insgesamt über 80 Dateien mit etwa 50 MB Speicherplatz.
Das Ganze ist nach Themen in Verzeichnissen geordnet.
