Ableitung ohne Ableitungsregel?
wie geht es nun weiter? Der Nenner ist mit Ausnahme des h final, das muss sich mit dem oberen wegkürzen.
Die Lösung ist natürlich - ich will es aber limes h->0 ausrechnen.
Man sieht natürlich, dass es irgendwie passt, denn das x hoch 4 unter der Wurzel geht gegen die x² am Ende irgendwie raus, genauso wie die 1. Der Rest hat ein h mit drin, außer noch 2x² unter der Wurzel, welche zum x im Nenner passen. Aber das ist natürlich kein Beweis. Kann das jemand so umformen, dass zum Schluss die Lösung heraus kommt - wie macht man das?
3 Antworten
Hallo,
[√((x+h)²+1)-√(x²+1)]/h
Erweitern mit √((x+h)²+1)+√(x²+1) und Anwenden der dritten binomischen Formel:
[(x+h)²+1-x²-1]/[h*√((x+h)²+1)+√(x²+1)]
Ausmultiplizieren des Zählers:
(x²+2hx+h²+1-x²-1)/[h*√((x+h)²+1)+√(x²+1)]
x²+1-x²-1 im Zähler verschwinden:
(2hx+h²)/[h*√((x+h)²+1)+√(x²+1)]
Ausklammern von h im Zähler:
[h*(2x+h)]/[h*√((x+h)²+1)+√(x²+1)]
Kürzen durch h:
(2x+h)/[√((x+h)²+1)+√(x²+1)]
Nun kann h gegen Null gehen:
2x/[√(x²+1)+√(x²+1)]
Zusammenfassen der beiden gleichen Wurzeln im Nenner:
2x/[2√(x²+1)]
Kürzen durch 2:
x/√(x²+1)=lim (h gegen 0) (f(x+h)-f(x))/h=f'(x).
Herzliche Grüße,
Willy
Vielleicht könnte man versuchen den Bruch zu erweitern und dann die dritte binomische Formel drauf anzuwenden um ein paar Wurzeln wegzubekommen, dh den Bruch mit sqrt((x+h)^2+1) + sqrt(x^2 + 1) zu erweitern
Das versuche ich auch gerade. Nämlich aus ((x+h)² + 1)(x² + 1) folgendes zu machen (x+1)² mal Faktor oder ähnliches, darin wird wohl die Lösung sein. denn dann bekomme ich das hintere x² und die 1 weg und der Rest hat noch ein h vor, das ich mit dem Nenner kürze. So der Plan. Jetzt die Ausführung :-)
ob grad passt ist mir grad egal : Aber sobald Wurzeln im Spiel sind, tritt die dritte biForm auf :
(weil ichs grad auf dem Bildschirm hatte)
Tatsache, Willy hat es mit der 3. bin gelöst