Abbildungsmatrix bestimmen (einfach)?
Sorry wenn ich so oft nachfrage, ich verstehe es aber einfach nicht. Diese Aufgabe soll wohl sehr einfach sein, ich verstehe aber trotzdem nicht wie sie geht :(((
Ich hätte mir folgendes gedacht: Um die Abbildungsmatrix zu bestimmen, schau ich mir einfach die Bilder der Basisvektoren an. Leider verstehe ich nicht so ganz, was z denn jetzt sein soll. Einerseits wird z bei der Definition von IQ(3wurzel(5)) verwendet, andererseits ist das jetzt aber auch ein Element von IQ(3wurzel(5)). Das sind doch hoffentlich zwei unterschiedliche z, oder? Wenn z ein Element aus IQ(3wurzel(5)) ist, dann bedeutet das ja, dass z das hier ist:
α,β,γ€IQ. Danach wird aber erst IQ(3wurzel(5)) als Vektorraum über IQ gesehen, dann wird die Abbildung Tz Endomorphismus vom IQ-Vektorraum IQ(3wurzel(5)) definiert, und wenn das z so wäre, wie ich es gesagt habe, dann wäre es ein Skalar, also kann das mit dem z ja schonmal nicht hinhauen, weil z ja kein Element aus IQ ist somit kein Skalar sein kann. Ich checke einfach nicht, wie dieses z denn nun aussehen soll. Das x ist ein Element aus dem Vektorraum, also ist x ein Vektor, der somit wiefolgt aussieht:
Wenn x jetzt ein Basisvektor ist, dann wären zwei Unbekannte 0, die übriggebliebene wäre 1. Und was nun? Ich verstehe einfach nicht, wie so ein z aussieht und was dann in der Abbildung mit den x und z passiert, kann mir das jemand erklären, danke :(
1 Antwort
Doch, du hast es schon richtig verstanden, z ist ein Element aus dem Unterring und es wirkt via Multiplikation auf x, ebenfalls ein Element aus dem Unterring.
Wähle doch ein allgemeines z und ein allgemeines x jeweils aus dem Unterring, multipliziere sie aus und schau, wie das Ergebnis aussieht. Interpretiere dann die Koeffizienten von 1, 5^(1/3) und 5^(2/3) als Vektorkomponenten und zwar sowohl im Ausgangselement x als auch im Bildelement z*x. Dann kannst du leicht die Abbildungsmatrix ablesen!
Der Vektor x sieht als Spaltenvektor übrigens so aus: (x1, x2, x3) und nicht (x1, x2*5^(1/3), x3*5^(2/3)). Die Basisvektoren stehen nicht im Spaktenvektor drin, sie werden durch die Spaltenvektor-Schreibweise impliziert.
In R^3 hättest du zum Beispiel (x1, x2, x3) = x1*e1 + x2*e2 + x3*e3 wobei e1 bis e3 die Standardbasisvektoren sind. Du siehst, e1 bis e3 stehen nicht im Spaltenvektor drin, nur die Komponenten x1 bis x3 tun es.
ooooooookay, das ist ja wirklich richtig simpel, ich glaube ich habe die Abbildungsmatrix gefunden, zumindest sieht es richtig aus. Vielen lieben Dank!