4 Punkte. Ein Punkt mit unbekannte. Ebene berechnen
Hallo Community :)
Ich habe hier eine Mathe-Aufgabe an der ich mir ein bisschen den Zähne ausbeiße. Folgendes:
Gegeben sind zwei Punkte: Vektor x = (1 2 0) und Vektor y = (1 1 2) Nun wird ein weiterer Punkt z = (5 a 1) gesucht. Dabei ist a Element R so zu wählen, dass die durch x, y und z aufgespannte Ebene auch durch den Punkt w = (3 7 -11) verläuft.
Ich hatte nun die Idee aus den drei vollständig gegebenen Punkten eine Ebenen-Gleichung aufzustellen:
(x y z) = (1 2 0) + r (1-1 1-2 2-0) + s(3-1 7-2 -11-0) und das dann mit dem Punkt (5 a 1) gleichzusetzen. Dann hätte ich drei Gleichungen. Die erste und die Dritte kann ich dazu verwenden um r und s zu berechnen. Diese dann in die zweite Gleichung einsetzen und a errechnen.
Leider hat das so nicht funktioniert. Die Lösung ist vorgegeben und beträgt a = 2.5 das heißt mein Ansatz war falsch. Wie wäre denn der richtige Ansatz?
5 Antworten
Die Lösung ist vorgegeben und beträgt a = 2.5 das heißt mein Ansatz war falsch.
Das ist die falsche Denkweise, gerade in der linearen Algebra gibt es oftmals mehrere (richtige) Lösungen und nur weil eine spezielle Lösung angegeben ist, muss deine nicht automatisch falsch sein wenn sie anders ist. Und selbst wenn deine Lösung falsch sein sollte, kannst du dich immer noch einfach verrechnet haben, es muss nicht direkt der Ansatz falsch sein. Und letzten Endes kann sich auch der Autor der Lösung vertan haben, wie es hier der Fall ist:
Zugegebenermaßen gibt es in dieser Aufgabe trotzdem nur eine richtige Lösung, aber sie lautet NICHT a = 2.5... Dein Ansatz ist vollkommen richtig und die Lösung muss a = 1/2 sein.
Oh super, Gott sei Dank, ich danke dir. Dachte schon ich wäre der totale Trottel :D
Habe tatsächlich bei meinem Ansatz a = 1/2 rausbekommen. Vielen Dank :D
Wenn du dir in solchen Fällen nicht sicher bist, kontrolliere die Lösungen doch einfach. Setze die vorgegebene und deine Lösung jeweils ein und mach dann die Punktprobe, dann siehst du ja wer recht hat.
Gruß
Dein Ansatz ist völlig korrekt. Entweder du hast dich verrechnet, oder die vorgegebene Lösung ist falsch (oder du hast die Angabe falsch abgeschrieben).
Ich hatte es auch 3mal ausgrechnet und auch a=0.5=1/2 rausbekommen.. ich hab aber die Ebene (1 2 0)+r(0 -1 2)+s(4 (a-2) 1) gebildet und sie dann mit P(3 7 -11) gleichgesetzt und da kam dann bei r=-5,75 und s=0.5 a=0.5 raus.. Aber wer hat denn die Lösung bei dir vorgegeben wenn se doch falsch ist?
A. Ich würde in solchen Fällen noch einen anderen Ansatz versuchen. Zum Beispiel ist der Normalenvektor n der Ebene per Kreuzprodukt der Richtungsvektoren fix gerechnet. z liegt genau dann auf der Ebene, wenn a so gewählt ist, dass (w -z)n = 0. Die Rechnung geht auch eher schneller als das Gleichungssystem.
Wenn dann wieder das Gleiche herauskommt, ist mit einiger Wahrscheinlichkeit die Musterlösung falsch.
B. Zur Anzahl der Lösungen: Eine klare Überlegung hierzu ist im konkreten Fall unaufwändig möglich. Die Schar der möglichen Punkte z ist eine zur zweiten Koordinatenachse parallele Gerade (durch den Punkt (5 0 1)). Damit es unendlich viele oder keine Lösung(en) gibt, müsste die Ebene eine Richtungsvektor enthalten, der zu dieser Gerade parallel ist. Das ist nicht der Fall, also gibt es genau eine Lösung.
psychironiker