Wieviele Möglichkeiten hat man, 6 Zigaretten an 5 Leute zu verteilen?

So ganz präzis ist das nicht formuliert.

Es gibt 11 Partitionen der 6:

6 = 6

5 + 1 = 6

4 + 2 = 6

4 + 1 + 1 = 6

3 + 3 = 6

3 + 2 + 1 = 6

3 + 1 + 1 + 1 = 6

2 + 2 + 2 = 6

2 + 2 + 1 + 1 = 6

2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6

Die letzte kommt offenbar nicht in Frage, bei einigen anderen bekommt nicht jeder eine Zigarette, das ist erlaubt, somit bleiben 10 Möglichkeiten.

Wenn die Leute unterscheidbar sind, dann muss man jeder der 10 Partitionen mit der Anzahl Möglichkeiten multiplizieren, diese auf die Leute zu verteilen. Das hat Pretan5 in seiner Antwort gezeigt, wobei ein Eintrag zu korrigieren ist (6 0 0 0 0 [5]). Die Summe 210 war aber korrekt.

Es gibt 10 unterschiedliche Verteilungsmuster für 6 Zigaretten. Für jedes muss man dann die Permutationen berechnen.

6 0 0 0 0 [5]

5 1 0 0 0 [20]

4 2 0 0 0 [20]

4 1 1 0 0 [30]

3 3 0 0 0 [10]

3 2 1 0 0 [60]

3 1 1 1 0 [20]

2 2 2 0 0 [10]

2 2 1 1 0 [30]

2 1 1 1 1 [5]

Wir haben dann insgesammt 210 verschiedene Kombinationen.

Das nennt man Komposition / Zusammensetzung einer ganzen / natürlichen Zahl. Gesucht ist die Anzahl der Kombinationen von einer bestimmten Anzahl positiver oder nicht negativer Zahlen, sodass die Summe eine bestimmte Zahl ergibt. In dem Fall hat man sechs Summanden, die nicht negativ sind, und in der Summe fünf ergeben sollen. Die Formel lässt sich mit dem Prinzip "stars and bars" zeigen.

Die Sterne sind die aufzuteilenden Objekte, welche durch vier Stäbe in fünf Teile aufgeteilt werden. Beispiel: "||**|*|***" bedeutet, dass die ersten beiden Personen nichts bekommen, die dritte Person bekommt drei, die vierte eins, die fünfte drei. Insgesamt hat man 6 + (5 - 1) = 10 Zeichen, wo man die Anzahl der Möglichkeiten sucht, wo 4 davon Stäbe sind. Das ist genau der Binomialkoeffizient.