Dein Vermieter wird dann einen neuen Mietvertrag aufsetzen und die Miete entsprechend nach oben korrigieren. Dieser hat weder etwas zu verschenken noch würde er sich die Chance entgehen lassen, den alten Vertrag loszuwerden. Ich wohne seit nun mehr 10 Jahren in meiner ~57 m² Wohnung und zahle ebenfalls eine relativ geringe Miete (~9 Jahre 260 € warm, mittlerweile 305 € warm). Würde ich ausziehen, dürfte/müsste mein Nachmieter wohl auch deutlich mehr dafür zahlen.
Selbst wenn ich bei passender Gelegenheit im selben Haus umziehen würde oder umgezogen wäre, hätte meine Vermieterin sicher auch die Miete angehoben. Bei mir vielleicht nicht so sehr wie bei einem komplett neuen Mieter, da ich schon recht lange hier wohne. Trotzdem hätte ich am Ende doch mehr oder deutlich mehr gezahlt. Sei froh das du in Köln und in der Wohnlage eine so günstige Wohnung hast. Wenn du mit deiner Wohnung eigentlich zufrieden bist, würde ich daran nichts ändern.
Dir steht es natürlich frei, mit deinem Vermieter zu sprechen. Allerdings damit rechnen kannst und solltest, das ein neuer Vertrag geschlossen wird. Im Vertrag steht schließlich drin, für welches Mietobjekt (welche Mietwohnung) der Vertrag gilt. Ergo wird der alte Vertrag ggf. in beidseitigem Einvernehmen aufgelöst und ein neuer Vertrag für das andere Wohnung aufgesetzt. Das Nachfragen kannst du dir daher eigentlich gleich sparen. Letztendlich aber selber wissen und entscheiden musst.