Eine lineare Funktion ist eine Gerade, welche die x-Achse nur einmal schneiden kann.
Nullstellen sind die Punkte, wo x-Achse geschnitten wird und y dementsprechend 0 ist.
Beispiel:
y = 15 x - 60
0 = 15 x - 60 /+ 60
60 = 15 x /: 15
4 = x
Bei dieser Funktion gibt es also eine Nullstelle bei 4.
Die Nullstelle ist bei einer linearen Funktion die Lösung der Gleichung.
Welche Steigung hat der Graph der 1. Ableitungsfunktion an der angegebenen Stelle ?
f(x) = 2 x³ -1
f´(x) = 6 x²
f´´(x) = 12x
Die Steigung der 1. Ableitung kannst du mit der 2. Ableitung ermitteln. Einfach den x-Wert in die zweite Ableitung einsetzen.
f´´(1) = 12
Mit der 1. Ableitung würdest du die Steigung der Ausgangsfunktion f(x) ermitteln.
Deine erste Ableitung ist auch falsch
LG Jasmin :)
Hallo
Wenn man 11 zu einer Zahl addiert ,
x plus 11
erhält man das Dreifache der gesuchten Zahl
3 mal x
x + 11 = 3x / - x
11 = 2x / : 2
5,5 = xDie gesuchte Zahl ist also 5,5
Zur Probe kannst du 5,5 auch nochmal für x einsetzen
5,5+11 = 3 * 5,5
Addiert man 5 zum Drittel der Zahl so ergibt sich -2
1/3x + 5 = -2 /-5
1/3x = -7 / *3
x = -21Die gesuchte Zahl ist also -21
Zur Probe kannst du - 21 für x einsetzen
1/3 * (-21) + 5= -2
Wenn man von 25 eine Zahl subtrahiert
25 minus x
erhält man das Vierfache der gesuchten zahl
4 mal x
25 - x = 4x / +x
25 = 5x / : 5
5 = xDie gesuchte Zahl ist also 5
Zur Probe kannst du 5 für x einsetzen
25 - 5 = 4 * 5
LG Jasmin
Hallo
Erste Aufgabe:
5x² + 2 = 0 / - 2
5x² = - 2 / : 5
x² = - 0,4 / Wurzel ziehen
Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen --> keine Lösung
Zweite Aufgabe
(4x - 6 ) * (x + 2) = 48
4x ² + 8x - 6x - 12 = 48
Hast du das verstanden ?
4x² + 2x -12 = 48
minus 48
4x²+ 2x - 60 = 0
Das kann du jetzt mit der Pq-Formel lösen. Dafür muss x² alleine stehen. Du muss also die ganze Gleichung durch 4 teilen.
x²+0,5x-15 = 0
-p / 2 ± √(p/2² -q)
jetzt musst du p = 0,5 und q = -15 in die Formel einsetzten
-0,5 / 2 ± √(0,5/2² +15)
-0,25 + √(0,5/2² +15) = 3,63
-0,25 - √(0,5/2² +15) = -4,13
Lösungen sind also
x1 = 3,63
x2 = -4,13
LG Jasmin :)
Zur Berechnung von Nullstellen brauchst du die PQ-Formel und wenn du den Scheitelpunkt berechnen musst, brauchst du die Quadratsiche Ergäzung
LG Jasmin
Hallo
enthält etwa 60,7% Kohlenhydrate
750 * 60,7 / 100 = 455,25
8,7% Eiweiß
750 * 8,7 / 100 = 65,25
LG Jasmin
Hallo
Erlöse = Preis mal Menge
Gewinn = Erlöse - Kosten
G(x) = E(x) - K(x)
Gewinnnzone = Bereich zwischen den beiden Nullstellen der Gewinnfunktion.
LG Jasmin :)
Hallo
LG Jasmin
Hallo
einer Funktion 3. Grades aus.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f´(x) = 3ax² + 2 bx + c
f´´(x) = 6 ax + 2b
Fixkosten betragen 4 GE
f(4) = 0
Bei einer Produktionsmenge von 15 ME entstehen Kosten in Höhe von 12409 GE.
f(15) = 12409
Bei einer Produktion von 5 ME betragen die Grenzkosten 252 ME.
Ich vermute mal, dass du dich verschrieben hast --> 252 GE
Hab mal gegoogelt. Demnach braucht man für die Grenzkosten die 1. Ableitung
f´(5) = 252
Der Gesamtkostenverlauf wechselt bei x=5/12 von einem degressive in einen progressiven Verlauf
Wendepunkt -- > 2. Ableitung
f´´(5/12) = 0
64 a + 16 b + 4 c + 1 d = 0
3375 a + 225 b + 15 c + 1d = 0
75 a + 10 b + 1 c + 0 d = 252
2,5 a + 2 b + 0 c + 0d = 12
Hier hör ich jetzt besser auf, weil ich nicht genau weiß, wie man dieses Gleichungssystem löst
LG Jasmin :)
Hallo
Extremwerte:
Um einen Extremwert zu berechnen, musst du die 1. Ableitung null setzen. Danach musst du noch die 2. Ableitung bestimmen, um zu ermitteln, ob es sich um einen Tiefpunkt oder Hochpunkt handelt
f(x)=x³-5x²
f´(x)=3x²-10x
f´´(x) = 6x -10
0=3x²-10x / Ausmultiplizieren
0=x * (3x -10) / + 10
10 = 3x /: 3
3,33 .. = x f´´(x) = 6x -10
f´´(3,33 ..) > 0 ---> Tiefpunkt
Wendepunkte
Um einen Wendepunkt zu berechnen, musst du die 2. Ableitung null setzen. Danach musst du noch die 3. Ableitung bestimmen, um zu ermitteln, ob es sich um einen Wendepunkt handelt, also ob der ermittelte x Wert ungleich null ist.
f´´(x) = 6x -10
0= 6x -10 /+10
10= 6x / : 6
1,666... = xBei der Krümmung und Monotonie kann ich dier leider nicht weiterhelfen
LG Jasmin
Polynomdivision
Ich versuche mal dir das an einem Beispiel zu erklären:
Du hast folgende Funktion gegeben:
f(x)=0,5x³-4,5x²+12x-9
Erste Schritt: Eine Nullstelle durch ausprobieren herausfinden, d. h. du setzt für x Zahlen ein. Ich fange meistens mit 1, -1, 2, -2, 3, -3 an. Wenn durch einsetzen dieser Zahl y=0 ist, dann ist es eine Nullstellen.
In diesem Beispiel wäre 3 eine Nullstelle. Jetzt brauchst du die Nullstelle als Linearfaktordarstellung. Also (x-3).
Du teilst jetzt genauso wie bei der schriftliche Division die Funktion (0,5x³-4,5x²+12x-9 ) durch (x-3)
Erstmal nimmst du das 1. Glied des Dividenden und teilst es durch das 1. Glied vom Divisor.
0,5x³ : x = 0,5x²
Dadurch erhältst du das erste Glied vom Quotienten. Diesen schreibst du hinter dem =.
Jetzt wird rückwärts gerechnet. Das ermittelte Glied vom Quotienten mal dem ganzen Divisor.
0,5x² mal (x-3) = 0,5x³-1,5x²
Dieses schreibst du unter der Funktion und subtrahierst es.
Die ganze Polynomdivision:
(0,5x³-4,5x²+12x-9) : (x-3) = 0,5x²-3x+3
-(0,5x³-1,5x²)
--------------------
-3x²+12x
- (-3x²+9x)
------------------------
3x-9
-(3x-9)
---------------
0Aus der Polynomdivision ergibt sich in der Regel eine Quadratische Funktion. Diese kannst du dann mit der Pq-Formel lösen
f(x)= 0,5x²-3x+3 /:0,5
0= x²-6+6 /Pq-Formel
-p / 2 ± √(p/2² -q)
p = -6
q= 6
6/ 2 ± √(6/2² -6)
x1 3+√(3)= 4,73
x2 3-√(3)= 1,27Welche Themen hast du denn nicht verstanden ?
Ich finde die Videos auf YouTube immer sehr hilfreich
LG Jasmin
Hallo
Im Mathestudium wird leider sehr wenig gerechnet :(
Es geht eher um Beweisführung
LG Jasmin
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg?
Ich glaube du musst dafür den Extremwert berechnen. Bin mir aber nicht sicher.
h(t)= -0.0025x^3+0,04x^2+9,17
ableiten
h´(t)=-0.0075x²+0,08x
0=-0.0075x²+0,08x /:x
0=-0.0075x+0,08 /-0,08
-0,08 = -0.0075x /:-0.0075
10,667 = x
x-Wert in h(t) einsetzen
h(10,667) = 10,687
h´´(t) = -0,015x+0,08
h´´(10,667) < 0 ---> Hochpunkt
LG Jasmin :)
Hallo
Wieso Polynomdivision ?
Ich würde das anders machen.
f(x)=2x^3+6x^2+4x
Ausklammern
f(x)=x * (2x²+6x+4)
0=2x²+6x+4 /: 2
0=x²+3x+2
---> Pq-Formel
-p / 2 ± √(p/2² -q)
-3 / 2 ± √(3/2² -2)
-1,5+ √(0,25) = -1
-1,5 - √(0,25) = -2,5
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sind die NST
x1=0
x2=-1
x3=-2
LG Jasmin :)
Hallo
Also erstmal machst du eine Polynomdivision.
Für eine Polynomdivision muss man eine NST durch ausprobieren herausfinden.
In diesem Fall z. B x = 3. Diese NST brauchst du nun als Linearfaktordarstellung
Also (x-3)
Jetzt kommt die Polynomdivision
(0,5x³-4,5x²+12x-9) : (x-3) = 0,5x²-3x+3
-(0,5x³-1,5x²)
--------------------
-3x²+12x
- (-3x²+9x)
------------------------
3x-9
-(3x-9)
---------------
0Aus der Polynomdivision ergibt sich eine Quadratische Funktion, welche du mit der pq-formel lösen kannst.
f(x)= 0,5x²-3x+3 /:0,5
0= x²-6+6 /Pq-Formel
-p / 2 ± √(p/2² -q)
p = -6
q= 6
6/ 2 ± √(6/2² -6)
x1 3+√(3)= 4,73
x2 3-√(3)= 1,27Die Nullstellen sind also
x1= 3
x2 = 4,73
x3 =1,27
LG Jasmin :)
Hallo
Was bedeutet hinreichende Bedingung ?
Also wenn f´(x) und f´´(x) = 0 ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt
LG Jasmin
Kurvendiskussion
f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x
f(-x) = f(x) --> Achsensymmetrie
f(-x) = -f(x) ---> Punktsymmetrie
Des weiteren erkennst du die Symmetrie daran, dass wenn im Funktionsterm nur gerade Exponenten vorkommen liegt eine Achsensymmetrie vor.
Wenn im Funktionsterm nur ungerade Exponenten vorkommen liegt eine Punktsymmetrie vor.
Enthält der Funktionsterm sowohl gerade als auch ungerade Exponente, liegt keine Symmetrie vor
f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x --> keine Symmetrie
2.Schnittpunkt mit der Ordinatenachse
Das hast du ja richtig gemacht :)
0 = 0^4 - 4 * 0³ + 0² + 6 * 0 --> Sy (0/0)
3.Schnittpunkte mit der Abszissenachse; Nullstellen
f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x
Es befindet sich überall ein x, dann teile ich immer durch x.
f(x)= x³ - 4x² + x + 6
Polynomdivision:
Erster Schritt: Eine Nullstelle, durch ausprobieren herausfinden, d.h. eine Zahl für x einsetzen, wodurch y = 0 ist.
Zweiter Schritt: Diese Nullstelle als Linearfaktor darstellen. In diesem Beispiel wäre z. B - 1 eine Nullstelle. Somit ist der Linarfaktor (x+1).
Dritter Schritt: Durchführung der Polynomdivision.
Hier wird fast genause wie bei der schriftlichen Division gerechnet.
( x³ - 4x² + x + 6) : (x + 1) = x²
Du rechnest also x³ geteilt durch x = x²
Danach wird rückwärts gerechnet. Das ermittelte 1. Glied des Quotienten wird mit dem ganzen Divisor multipliziert, unter den Dividenden geschrieben und subtrahiert:
x² * (x+1) = x³+1x²
( x³ - 4x² + x + 6) : (x + 1) = x²-5x+6
-(x³ + 1x²)
--------------
-5x² +x
- (-5x²-5x)
--------------------
6x + 6
- ( 6x+ 6)
------------------------------
0f(x)=x²-5x+6
pq-Formel:
x1= 0
x2 = -1
x3= 3
x4 = 2
4.Extremwerte
f´(x) = 4x³ - 12x² + 2x + 6
Wieder Polynomdivision; NST durch ausprobieren +1; Linearfaktor (x-1)
(4x³ - 12x² + 2x + 6) : (x-1) = 4x²-8x-6
- (4x³ - 4x²)
----------------
-8x² + 2x
- ( 8x² + 8x)
--------------------------
-6x + 6
- (6x +6 )
----------------
0
f(x)=4x²-8x-6
--> geteilt durch 4
0=x²-2x-1,5
---> PQ-Formel
x1 = 2,58
x2 = 1
x3 = 0,58
x-Werte in die f(x) einsetzten um die y-Werte zu ermitteln und mit der f´(x) herausfinden, ob ein Tiefpunkt oder Hochpunkt vorliegt
f´´(x) = 12 x²- 24x+2
f´´(0,58) > 0
f´´(2,58) > 0
f´´(1) < 0
Es gibt also zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt
T1 (0,58/3,15)
T2 (2,58/-2,259
H (1/4)
5.Wendepunkt
f´´(x) = 12 x²- 24x+2
0=12 x²- 24x+2
--> geteilt durch 12
--> PQ-Formel
WP 1 ( 0,09 / 0,528)
WP 2 ( 1,91 / 0,528)
6.Monotonie und Krümmung kenne ich nicht :(
LG Jasmin :)
Hallo
7x+14=-3x-6
Du musst die Gleichung nach x auflösen
minus 14
7x = -3x -20
plus 3x
10x = - 20
geteilt durch 10
x= -2
Hast du das verstanden ?
Hallo
Diese Funktion hat keien Symmetrie zum Ursprung
2.. Deine erste Ableitung ist schon falsch
f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x
f´(x) = 4x³ - 12x² + 2x + 6
f´´(x) = 12 x²- 24x+2
f´´´(x) = 24x - 24
3.. Schnittpunkt mit der y-Achse ist richtig :)
4.. Nullstellen
f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x
Es befindet sich überall ein x, dann teile ich immer durch x.
f(x)= x³ - 4x² + x + 6
jetzt kannst du die Polynomdivision verwenden. Kannst du das ?
( x³ - 4x² + x + 6) : (x + 1) = x²-5x+6
-(x³ + 1x²)
--------------
-5x² +x
- (-5x²-5x)
--------------------
6x + 6
- ( 6x+ 6)
------------------------------
0
Als Ergebnis der Polynomdivision hast du eine quadratische Funktion
x²-5x+6
diese kannst du mit der PQ-Formel lösen. Kennst du die PQ- formel ?
x3= 3
x4 = 2
Somit hast du vier Nullstellen:
x1= 0
x2 = -1
x3= 3
x4 = 2
5.. Extremwerte
f´(x) = 4x³ - 12x² + 2x + 6
Dafür brauchst du wieder die Polynomdivision
6.. Wendepunkte
2.. Ableitung null setzen
f´´(x) = 12 x²- 24x+2
durch 12 teilen und dann in die PQ-Formel
Monotonie und Krümmung kenne ich leider nicht
LG Jasmin
Ich verstehe deine zusammengefasste Ableitung nicht :(
Kannst du mir vielleicht die Ausgangsfunktion schreiben ??