Kurvendisskussion // Was rechne ich falsch?

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7 Antworten

Kurvendiskussion

f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x

  1. Symmetrie

f(-x) = f(x) --> Achsensymmetrie

f(-x) = -f(x) ---> Punktsymmetrie

Des weiteren erkennst du die Symmetrie daran, dass wenn im Funktionsterm nur gerade Exponenten vorkommen liegt eine Achsensymmetrie vor.

Wenn im Funktionsterm nur ungerade Exponenten vorkommen liegt eine Punktsymmetrie vor.

Enthält der Funktionsterm sowohl gerade als auch ungerade Exponente, liegt keine Symmetrie vor

f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x --> keine Symmetrie


2.Schnittpunkt mit der Ordinatenachse

Das hast du ja richtig gemacht :)

0 = 0^4 - 4 * 0³ + 0² + 6 * 0 --> Sy (0/0)


3.Schnittpunkte mit der Abszissenachse; Nullstellen

f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x

Es befindet sich überall ein x, dann teile ich immer durch x.

f(x)= x³ - 4x² + x + 6

Polynomdivision:

Erster Schritt: Eine Nullstelle, durch ausprobieren herausfinden, d.h. eine Zahl für x einsetzen, wodurch y = 0 ist.

Zweiter Schritt: Diese Nullstelle als Linearfaktor darstellen. In diesem Beispiel wäre z. B - 1 eine Nullstelle. Somit ist der Linarfaktor (x+1).

Dritter Schritt: Durchführung der Polynomdivision.

Hier wird fast genause wie bei der schriftlichen Division gerechnet.

( x³ - 4x² + x + 6) : (x + 1) = x²

Du rechnest also x³ geteilt durch x = x²

Danach wird rückwärts gerechnet. Das ermittelte 1. Glied des Quotienten wird mit dem ganzen Divisor multipliziert, unter den Dividenden geschrieben und subtrahiert:

x² * (x+1) = x³+1x²

 ( x³ - 4x² + x + 6) : (x + 1) = x²-5x+6
    
    -(x³ + 1x²)
    --------------
           -5x² +x
    
        - (-5x²-5x)
    
    --------------------
                 6x + 6
             - ( 6x+ 6)

------------------------------
                          0

f(x)=x²-5x+6

pq-Formel:

x1= 0

x2 = -1

x3= 3

x4 = 2


4.Extremwerte

f´(x) = 4x³ - 12x² + 2x + 6

Wieder Polynomdivision; NST durch ausprobieren +1; Linearfaktor (x-1)

(4x³ - 12x² + 2x + 6) : (x-1) = 4x²-8x-6

- (4x³ - 4x²)

----------------
          -8x² + 2x
        -  ( 8x² + 8x)
--------------------------
                      -6x + 6
                   - (6x +6 )
                 ----------------
                                 0

f(x)=4x²-8x-6

--> geteilt durch 4

0=x²-2x-1,5

---> PQ-Formel

x1 = 2,58

x2 = 1

x3 = 0,58

x-Werte in die f(x) einsetzten um die y-Werte zu ermitteln und mit der f´(x) herausfinden, ob ein Tiefpunkt oder Hochpunkt vorliegt

f´´(x) = 12 x²- 24x+2

f´´(0,58) > 0

f´´(2,58) > 0

f´´(1) < 0

Es gibt also zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt

T1 (0,58/3,15)

T2 (2,58/-2,259

H (1/4)


5.Wendepunkt

f´´(x) = 12 x²- 24x+2

0=12 x²- 24x+2

--> geteilt durch 12

--> PQ-Formel

WP 1 ( 0,09 / 0,528)

WP 2 ( 1,91 / 0,528)


6.Monotonie und Krümmung kenne ich nicht :(


LG Jasmin :)

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Kommentar von EchoCache
12.06.2014, 23:33

Ganz ehrlich die Mühe hätte ich mir erspart. Er soll die Hausaufgaben selber machen. Zu Punkt 6:

Du schaust dir den Kurvenverlauf an, ist die Steigung positiv wachsend, spricht man von monoton steigend, ist sie stark positiv wachsend, sprich sie hat keine negative Steigung, dann spricht man von einer "streng monoton wachsender" Verlauf. Das Krümmungsverhältnis wird über die zweite Ableitung bestimmt:

f ' ' (x) = 0 = > je nach dem ob größér oder kleiner als 0, ist die Kurve rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt. Achtung: Wendepunkte ändern das Krümmungsverhältnis...

1

Über die Monotonie entscheidet das abschnittsweise Vorzeichen der ersten Ableitung, daher:

  • streng monoton fallend für x < 1 - √ (5/2) und 1 < x < 1 + √ (5/2)
  • streng monoton steigend für 1 - √ (5/2) < x < 1 und 1 + √ (5/2) < x

Über das Krümmungsverhalten entscheidet das abschnittsweise Vorzeichen der zweiten Ableitung, daher:

  • linksgekrümmt für x < 1 - √ (5/6) und 1 + √ (5/6) < x
  • rechtsgekrümmt für 1 - √ (5/6) < x < 1 + √ (5/6)

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur Gerade x = 1. Am einfachsten ist der Nachweis (wenn der Satz bekannt ist, dass das genau alle ungeraden Ableitungen zum Schnitt dieser Gerade mit der x-Achse punktsymmetrisch sind) durch Betrachtung der dritten Ableitung.

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Hallo

  1. Wieso Achsensymmetrie

Diese Funktion hat keien Symmetrie zum Ursprung

2.. Deine erste Ableitung ist schon falsch

f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x

f´(x) = 4x³ - 12x² + 2x + 6

f´´(x) = 12 x²- 24x+2

f´´´(x) = 24x - 24

3.. Schnittpunkt mit der y-Achse ist richtig :)

4.. Nullstellen

f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x

Es befindet sich überall ein x, dann teile ich immer durch x.

f(x)= x³ - 4x² + x + 6

jetzt kannst du die Polynomdivision verwenden. Kannst du das ?

    ( x³ - 4x² + x + 6) : (x + 1) = x²-5x+6
    
    -(x³ + 1x²)
    --------------
              -5x² +x
    
          -    (-5x²-5x)
    
    --------------------
                    6x + 6
                -    ( 6x+ 6)

------------------------------
                              0

Als Ergebnis der Polynomdivision hast du eine quadratische Funktion

x²-5x+6

diese kannst du mit der PQ-Formel lösen. Kennst du die PQ- formel ?

x3= 3

x4 = 2

Somit hast du vier Nullstellen:

x1= 0

x2 = -1

x3= 3

x4 = 2

5.. Extremwerte

  1. Ableitung null setzen und mit der 2. Ableitung prüfen ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist.

f´(x) = 4x³ - 12x² + 2x + 6

Dafür brauchst du wieder die Polynomdivision

6.. Wendepunkte

2.. Ableitung null setzen

f´´(x) = 12 x²- 24x+2

durch 12 teilen und dann in die PQ-Formel

Monotonie und Krümmung kenne ich leider nicht

LG Jasmin

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Kommentar von Jasmin011
11.06.2014, 21:20

Kannst gerne nachfragen, wenn du etwas nicht verstanden hast :)

0

Deine Ableitung ist schon mal total falsch:

aus f(x) = x^4-4x^3+x^2+6x wird f´(x) = 4x^3 -12x^2 +2x +6

Immer Exponent mit Koeffizient multiplizieren und dann Exponent um 1 reduzieren.

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Kommentar von niklasreim
12.06.2014, 23:17

und komischerweise ist deine 2. Abl. wieder richtig. Wie hast du das geschafft wo doch deine erste Abl. falsch ist? Abgeschrieben?

1

Deine Ableitung ist falsch: 4x^3 nicht 4 x und nein ich mache nicht deine Aufgaben

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Symmetrie gibt es einmal die Symmetrie zum Ursprung und die Symmetrie zur Y-Achse. Wenn du dir den Term anschaust ist es nichts von beidem. Also ohne jetzt mir die Mühe zu machen, und deine restlichen Aufgaben zu bearbeiten, würde ich dir vorschlagen, mit den Grundlagen von vorne anzufangen. Denn selbst die Ableitungen sind falsch.

f(x) = x^4 - 4x³ + x² + 6x

f ' (x) = 4x^3 - 12x² +2x + 6

f ' ' (x) = 12x^2 - 24x + 2

f ' ' ' (x) = 24x - 24

Wendepunkt f '' (x) = 0 (notw. Beding:) und f ''' (x) != 0 (hinreichende Beding.)

Der Rest wurde ja bereits ausführlich beantworte. Aber wie gesagt vergiss es. Lern erstmal, wie man ableitet. Hoffe nicht, dass du kurz vorm Abi stehst.

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Kommentar von Jasmin011
12.06.2014, 23:26
Hoffe nicht, dass du kurz vorm Abi stehst.

Wann hat man denn die Differentialrechnung denn in der Schule ?

0

f(x)=12⋅x²+5⋅x+6

  1. Ableitung f′(x)=24⋅x+5

  2. Ableitung f′′(x)=24

  3. Ableitung f′′′(x)=0

Extrema Minimum im Punkt ( −5/24 | 5,4791 ) (<- Das ist ein Tiefpunkt)

Grenzwert gegen plus unendlich limx→∞f(x)=∞

Grenzwert gegen minus unendlich limx→−∞f(x)=∞

Definitionsbereich Df= ]−∞,∞[

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Kommentar von Jasmin011
12.06.2014, 23:54

Was meinst du mit Grenzwert gegen unendlich

und Definitionsbereich ??

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