Wie schreibe ich eine Geschichte mit einem unsterblichen Charakter so das sie spannend ist?

Eine Lösung für die Geschichte wären Probleme, bei denen Unsterblichkeit nicht oder nur zu einem gewissen Grad vorteilhaft ist.

Wenn der Protagonist für andere verantwortlich ist oder die ihm nahestehenden Charaktere einfach nur schützen möchte kann es interessant gestaltet werden zu sehen, wie er diese rettet.

Unsterblichkeit bedeutet außerdem nicht automatisch jeden Gegner besiegen zu können, wenn ein Gegner sehr viel stärker ist könnte der Protagonist einen Weg finden müssen den Kräfteunterschied auszugleichen, Schwachstellen finden oder etwas anderes.

Eine nicht ganz so anspruchsvolle Story könnte auch Charaktere in die Story einbringen, die der Leser so gerne besiegt sehen möchte, dass es reicht ihn einfach im Kampf gegen den Protagonisten verlieren zu sehen, aber das könnte sehr schnell einseitig werden.

Ein Beispiel für ein Werk, dass den unsterblichen Protagonisten ziemlich gut umsetzt ist der Anime/Manga One Punch Man. Dem Protagonisten ist langweilig, weil er so viel stärker ist als alle anderen, dass er an keinem Kampf mehr Spaß hat. Es ist mehr Comedy und Parodie als Action beziehungsweise, wenn es einen richtigen Kampf gibt, bei dem beide Seiten ihr Leben aufs Spiel setzen ist der Protagonist nicht beteiligt.

Die einfachste Möglichkeit: Es weiß keiner und darf keiner erfahren.
Wenn es keine Option ist, aus welchem Grund auch immer, das irgendwer von der Unsterblichkeit der Person weiß, dann muss die Person trotzdem immer den tödlichen Situationen entkommen, als würde es da wirklich um was gehen. Nur ist das 'was' halt nicht das Leben, sondern das Geheimnis. Sind aber natürlich keine so hohen Konsequenzen, für den Leser könnte das trotzdem nicht fesselnd sein.

Die andere Möglichkeit: Nimm eine andere Art von Unsterblichkeit.
Die 'Nix, aber auch gar nix kann die Person auch nur verletzen' Art ist wirklich ungeeignet für die meisten Geschichten. Die 'Altert nicht und wird nicht krank, kann aber an Verletzungen sterben, auch ohne besonderes Kryptonit' Variante eignet sich meistens besser.

Und im Zweifel: 'Kill your darlings'. Wenn du eine Idee nur behältst, weil sie dir gefällt, wenn sie aber tatsächlich vollkommen ungeeignet ist für deine Geschichte, dann musst du die Idee loslassen, komplett streichen.

Die Frage enthält die Antwort. Schreibe über die Probleme, die der Charakter dadurch hat, dass er unsterblich ist.

Die anderen Leute können sterben, und dann müsste er seine Ewigkeit alleine verbringen.

Er ist nicht unverletzlich. Wenn man ihn foltert und zerstückelt lebt er eine Ewigkeit in schmerzen.

Ich weiß nicht was du für Bücher liest, aber der Aspekt, dass der Charakter jeder Zeit sterben kann ist meistens nicht wichtig. Harry Potter hat im ersten Band versucht den Stein der weisen zu finden/Snape von bösen Dingen abzuhalten und sein überleben schin ihm stellenweise egal.

Spannung kann durch soziale Intrigen kommen, Zeitdruck oder Moralische Dilemma, nicht nur weil der Charakter sterben kann.

Angst könnte eine unsterbliche Figur allenfalls um das Leben der anderen empfinden.

Verlustangst, ständig die Liebsten zu verlieren.