Potenzreihe – die meistgelesenen Beiträge

Hi,

ich beschäftige mich gerade mit Potenzreihen, diese werden immer um einen Entwicklungspunkt gebildet. Doch was genau ist ein Entwicklungspunkt?

Zuerst haben wir eine Potenzreihe erhalten:



C ist ein Koeffizient, x die Basis und k der Wert von 0 bis unendlich. Anschließend gab man uns die allgemeine Formel für Potenzreihen:



Und nun kann ich nicht mehr folgen. Was genau ist ein Entwicklungspunkt und warum nutzt man ihn?

Hallo,

wie genau kommt man ausgehend von dieser Formel:

zur Darstellung von e^x ? Siehe hier:

Als Beispiel: a^x für a>0; a entspricht reelen Zahlen

Aufgabe: Geben Sie die Koeffizenten a0,a1,a2 und a3 der Potenzreihenentwicklung für die Funktion f(x) = -4sin(x)

Wie kriege ich die Koeffizienten raus? a0 ist logischerweise 0 und a1 -4

Moin, ich soll beweisen, dass eine Funktion f : (-R, R) -> Reele Zahlen, wobei  und R der Konvergenzradius der Potenzreihe ist, stetig ist.

Zu der Aufgabe gibt es noch einen Hinweis, man soll ein r > 0, wählen, sodass (wobei x_0 beliebig aus dem Intervall (-R, R) ist)

Dann soll man zeigen, dass ein N (Element der natürlichen Zahlen) existiert, sodass für alle x mit |x| < r gilt: Das ist ja ziemlich offensichtlich, x ist kleiner als der Konvergenzradius, die Potenzreihe konvergiert also, d.h. die einzelnen Summen kommen immer näher an 0.

Jetzt soll man folgenden Schluss ziehen:

Mein Ansatz wäre jetzt, das N für beide Potenzreihen (x und x_0) zu finden, und dann N = max(N_1, N_2) zu nehmen. Dann müssten ja schonmal die letzten beiden Teile der rechten Seite der Ungleichung jeweils kleiner als epsilon/3 sein.

Wenn ich das epsilon-delta-kriterium richtig verstanden habe, muss ich jetzt noch ein delta wählen, sodass und ich bin fertig.

Leider weiß ich nicht so ganz, wie ich das angehe. Hab schon ne weile mit ausprobieren, wolframalpha, youtube und chatgpt verbracht, aber keine Abschätzung gefunden.

Kurze Frage: Was ist die Summenreihenentwicklung des Pochhammer Symbols?

In Mathworld über das Pochhammer Symbol steht als geschlossende Form eine Summenreihenentwicklung mit



wobei s(n, k) die Stirling Zahl der ersten Art ist.

Im Mathworld Artikel zur Stirling Zahl der ersten Art steht jedoch als Potenzreihentwicklung für die Stirling Zahl der ersten Art



Aber die beiden Reihentwicklungen sind doch unterschiedlich:



Eine andere verbreitete Schreibweise des Pochhammer Symbols ist



wobei Gamma(x) für die vollständige Gammafunktion von x steht.

Ich muss zuerst eine Partialbruchzerlegung machen und merke, dass ich nicht weiterkomme (komplexe nullstellen).

Hallo,

bei einer Potenzreihe von n=0 beginnend über a_n•z^n (z ist komplex) habe ich folgende Koeffzienten a_n ermittelt.

a_(2n) = (–1/2)^(n+1)

a_(2n+1) = –(–1/2)^(n+1)

Diese explizite Folge ist laut Lösungen auch korrekt. Nun soll ich noch den Konvergenzradius r bestimmen.

Hierfür habe ich einmal das Wurzel- und einmal das Quotientenkriterium genutzt. Beim Quotientenkriterium kam ich auf r=1, bei dem Wurzelkriterium auf r=2.

Die Lösung laut Buch ist r=sqrt(2).

Könnt ihr mir bitte zeigen, wie ihr den Konvergenzradius ausrechnet? Ich finde den Fehler nicht.

Hallo, es geht um den Text hier:

Was ist damit gemeint? Wieso null? Wieso fast alle null? Ich verstehe das nicht. Danke wer helfen kann

Hey Leute, die Frage steht ja bereits oben Ich wäre über jeden noch so kleinen Tipp unendlich dankbar !! Konkret geht es um Aufgabe 2 bei dem Bild das ich angefügt habe

Danke ! :)