Wikipedia, Potenzreihe, alle Koeffizienten fast null. Was meint der Text damit?

Hallo, es geht um den Text hier:

Was ist damit gemeint? Wieso null? Wieso fast alle null? Ich verstehe das nicht. Danke wer helfen kann

Answer 1

[Zvvingli]

Fast alle bedeutet: Alle bis auf endlich viele. Es kann also durchaus sein, dass die ersten paar (oder auch die ersten paar tausend) Koeffizienten einen anderen Wert haben können, dass es aber irgendwann einen gibt, ab dem dann alle folgenden Koeffizienten den Wert 0 haben.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Einige Jahre lang Mathe-Tutor & Klausurkorrektur

Comments

[Soelller]

Vielen Dank. In welchem Zusammenhang ist das?

Könntest du mir vielleicht ein formales Beispiel geben?

Answer 2

[evtldocha]

Polynomfunktion n-ten Grades ( aka. ganzrationale Funktion n-ten Grades) hat die allgemeine Form.

$P_n\left(x\right)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}x^{n-1}...\ +\ a_0x^0$

Das erhalte ich aus der allgemeinen Potenzreihe, wenn gilt.

$a_k\ =\ 0\ \forall\ k\ >n$

Potenzreihe:

$P=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k=\ a_0x^0+a_1x^1+...\ a_nx^n\ +\ a_{n+1}x^{n+1}...$

Wenn nun alle a_k ab k = n+1 gleich null sind, bleibt genau die Polynomfunktion von oben stehen (nur andersherum sortiert, und die Koeffizienten sind anders nummeriert)

Insofern meint dann das Wort "auffassen", dass eine Polynomfunktion ein Spezialfall einer allgemeinen Potenzreihe ist (und für den Mathematiker könnte das ein Grund sein, sich in Zukunft nur noch mit Potenzreihen zu befassen, da er dann auch die Polynomfunktionen mit behandelt).

Comments

[Soelller]

Vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe eine Zwischenfrage.

Wenn nun alle a_k ab k = n+1 gleich null sind,...

Wieso sollten sie überhaupt null sein? Muss das irgendwann so eintreffen? Was ist, wenn wir für a_k niemals die Null einsetzen? Dann wäre doch die Aussage aus Wiki falsch?! Oder habe ich das etwas falsch verstanden?

[evtldocha]

@Soelller

Ich weiß jetzt echt nicht mehr, was ich dazu noch sagen soll. Kein Mensch behauptet, dass die null sein müssen. Nur wenn sie ab einem bestimmten k nicht null werden, dann wird eben aus einer Potenzreihe keine Polynomfunktion und es bleibt eine Potenzreihe.

[Soelller]

@evtldocha

Vielen dank. Wieso beschreibt es Wiki dann nicht so wie du? Wieso schreibt wiki

"bei der fast alle Koeffizienten null sind"

Damit betont wiki, dass es so ist. Wie kann es aber so sein, wenn es auch anders sein kann? Wiki erwähnt nur das eine.

[evtldocha]

@Soelller

Wikipedia beschreibt es ganz genauso wie ich.

Ich kann den ersten Satz in dem Ausschnitt, der in Deinem Bild im Post zu sehen ist, absolut nicht anders verstehen als so, wie ich das versucht habe zu beschreiben. Es steht da, dass man eine Polynomfunktion als Potenzreihe auffassen (verstehen) kann, bei der fast alle Koeffizienten gleich null sind. Und im Nebensatz bezieht sich das "der" auf Potenzreihe und nicht auf Polynomfunktion.