Würfelwahrscheinlichkeiten errechnen?
Ich möchte für ein Spiel, das ich gerne spiele, Wahrscheinlichkeitsrechnungen anstellen. Bei dem Spiel wird mit zwei Würfeln mit den Augenzahlen 1 bis 6 gewürfelt. Was ja noch sehr einfach ist: Die 2 hat beispielsweise bei einem Wurf mit beiden Würfeln eine Wahrscheinlichkeit von 1/36 und die 7 von 6/36, da es 36 verschiedene Augenzahlkombinationen gibt und man die ja einfach schnell durchgehen kann, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es für eine bestimmte Zahl gibt.
Ebenfalls einfach zu berechnen ist, wie wahrscheinlich es z.B. ist, dass die 6 in n Zügen kein einziges mal vorkommt: (31/36)^n. Wo ich aber gerade auf dem Schlauch stehe: Wie berechne ich z.B., wie wahrscheinlich es ist, dass die 6 in n Zügen exakt m mal vorkommt? m=0 lässt sich wie gesagt mit (31/36)^n berechnen und m=n logischerweise mit (5/36)^n und bei m>n oder wenn m keine natürliche Zahl ist, kommt natürlich eine Wahrscheinlichkeit von 0 % heraus. Für die anderen Werte ist für mich allerdings unklar, wie ich die Wahrscheinlichkeit berechnen soll. Wie wahrscheinlich ist es beispielsweise, dass die 4 bei meinetwegen 123 Würfen exakt 5 mal vor kommt?
1 Antwort
Hallo.
Das ist einfach eine Binomialverteilung:
Angenommen du würfelst 10 mal und möchtest die Wahrscheinlichkeit dafür wissen, dass du 3 mal die Augenzahl 6 bekommst:
Also ca 11,3% oder grob überschlagen in 1 von 9 Fällen wird genau 3 mal die Augenzahl 6 erscheinen. Wenn du zum Beispiel "weniger als 4" wissen möchtest, müsstest du die Werte von 0,1,2,3 zusammenaddieren und von 1 abziehen.
Viele Schultaschenrechner haben die Funktion integriert, ansonsten gibt es auch online Rechner dafür.
Hmm, vielleicht hilft dir die Darstellung:
Ansonsten google mal nach
n über k Rechner
ja, das hilft mir sehr! Mit Fakultäten habe ich in der Vergangenheit schon gerechnet. :) Dieses (n k) braucht man dann vermutlich, weil die Augenzahl 6 ja in beliebigen 3 der 6 Würfe gewürfelt werden darf. Die Herleitung der Formel wäre aber jetzt natürlich nochmal eine andere Geschichte, aber zumindest die Anwendung ist mir jetzt klar. Vielen Dank dafür! :)
Stimmt mit der Herleitung:
Angenommen wir sagen mal zur Vereinfach "in einem von 3 Würfen".
Dann willst du genau 1 mal die 6 haben -> (5/36)
und zwei mal irgendwas anderes -> (31/36) * (31/36) = (31/36)²
Also
(5/36) * (31/36)²
Nun kannst du die 6 ja aber unterschiedlich anordnen:
6XX, X6X, XX6
Du müsstest also rechnen?
(5/36) * (31/36) * (31/36) + (31/36) * (5/36) * (31/36) + (31/36) * (31/36) * (5/36)
Das ist ja aber viel zu umständlich und lang. Und genau für diese Anordnung kommt der Binomialkoeffizient ins Spiel, also dieses "n über k". Damit kann man die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten einfach berechnen.
Macht zusammen für dieses Beispiel:
P(X=1) = 3 * (5/36) * (31/36)²
Danke. :) Ja, genau das hatte ich vermutet. Wie man auf den Bruch mit den Fakultäten kommt, wäre dann nochmal eine andere Frage. ^^ Dass wir das aber grundsätzlich brauchen, ist wegen der unterschiedlichen Anordnung klar.
Ohje, du willst es aber genau wissen, oder? Dann google mal zu Binomialkoeffizient. Ich bin sicher, es gibt genügend Ausarbeitungen zu dem Thema..
Nein, alles gut, mir reicht erstmal, dass ich weiß, wie ich es berechnen kann und warum man den Bruch mit den Fakultäten grundsätzlich braucht ist mir jetzt auch klar (wenn auch nicht die Herleitung ^^) und die beiden hinteren Potenzen sind ja sowieso klar. :)
Mein lustigstes Erlebnis in Sachen Wahrscheinlichkeit war ja mal, dass ich Kniffel mit anderen Leuten gespielt habe und als ich das allererste mal dran war, mit meinem allerersten Wurf fünf Sechsen gewürfelt habe. :D Die Wahrscheinlichkeit auf 5 gleiche ist ja schon nur 1/1296 und auf 5 Sechsen sogar nur 1/7776. ^^
Tjo, die Wahrscheinlichkeit für 6 richtige + Superzahl im Lotto liegt bei ca 1/140 Millionen und trotzdem liest du immer wieder, dass Leute im Lotto gewonnen haben. 👍
Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass jede Möglichkeit entsprechend häufig ihrer Wahrscheinlichkeit eintreten wird. Also egal wie unwahrscheinlich etwas ist, auf unendlich viele Versuche betrachtet wird das Ereignis auch unendlich oft eintreten. 😉
Ja, das stimmt. :) Vor allem habe ich wirklich schon extrem viele Male Kniffel gespielt, weil ich mit meiner Mutter nicht viel anderes spielen kann und irgendwann passiert dann halt sowas mal. ^^ Als Kind habe ich mit Kumpels immer auf der Straße Fußball gespielt. Einmal habe ich aus Versehen über einen Gartenzaun geschossen und im Hof hing ein Basketballkorb und der Ball ist da drin gelandet, ohne dass er das Brett vorher berührt hat und natürlich wohlgemerkt ohne, dass ich den ja überhaupt treffen wollte. :D Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, sind da natürlich viel zu viele Variablen unbekannt, aber die dürfte natürlich auch verschwindend gering sein.
Vielen Dank für deine Antwort. :) Das meiste davon habe ich verstanden (also zumindest wie ich die Formel anwenden muss - die Herleitung wäre nochmal eine andere Geschichte ^^). Was ich aber nicht verstehe, ist, wie man von (10 3) (ich habe das jetzt mal nebeneinander geschrieben, da ich nicht weiß, wie das übereinander geht ^^) auf 120 kommt. ;)