Wozu benutzt man Eigenwerte und - Vektoren (Population)?

Hallo allerseits,

Kann mir bitte jemand erklären, warum man Eigenwerte und Vektoren vor allem in Bezug auf Populationsentwicklungen benutzt und was die bewirken..Wie rechnet man die aus?

Ich danke sehr für Hilfe.

Lg

Answer 1

[cauchy207]

Wie man sie berechnet liest man hier nach:

https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem#Berechnung_der_Eigenwerte

Comments

[K12345678]

Und wozu braucht man die???

[cauchy207]

@K12345678

um matrizen übersichtlicher zu machen

[K12345678]

@cauchy207

Ich danke für Ihre Antwort...aber aus dem Satz und dem Internet werde ich irgendwie garnicht schlau...:(

[cauchy207]

@K12345678

Anders gesagt: mit eigenwerten und eigenvektoren kann man leichter rechnen

Answer 2

[MeRoXas]

Ein Eigenvektor v erfüllt für allgemein für Matrizen A die Beziehung

$A\cdot v=k\cdot v$ wobei k eine reelle Zahl ist, der sogenannte Eigenwert.

Soll im Bezug auf Populationsmatrizen heißen: Von einem Übergang zum nächsten werden alle Populationsgrößen mit dem selben Faktor multipliziert. Ein Eigenvektor ist quasi "stabiler" im Bezug auf die Matrix als andere Bestandsvektoren; man kann voraussagen, wie sich diese Population entwickeln wird: Wenn man bereits weiß, dass A*v=k*v gilt, so gilt dann auch nach etwas Umformen

$A^2\cdot v=A\cdot\left(A\cdot v\right)=A\cdot\left(k\cdot v\right)=k\cdot\left(A\cdot v\right)=k\cdot k\cdot v=k^2\cdot v$ , also A²*v = k²*v und allgemein gilt

$A^n\cdot v=k^n\cdot v$ Den Bestand beim n-ten Übergang kann man also berechnen, indem man einfach k^n*v rechnet, wobei k eben der Eigenwert ist. Man muss dann nicht mehr A^n per Hand ausrechnen.

Wenn man glücklicherweise den Eigenwert 1 hat, so ist v sozusagen der "Grenzvektor", denn dann gilt ja A^n * v = v für alle n. Die Matrix A hat dann keinen Einfluss mehr auf v.

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Wenn dein Eigenvektor bspw. v=(1, 3, 4) und dein Eigenwert bspw. 3 ist, so kann man für eine gegebene Übergangsmatrix A für den beispielsweise siebzehnten Übergangsvektor anstatt

$A^{17}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}$ auch einfach

$3^{17} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3^{17} \\ 3^{18} \\ 4\cdot 3^{17}\end{pmatrix}$ rechnen. Das ist wesentlich einfach, weil 3^17 viel leichter als A^17 ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester