Wohldefiniertheit von Addition und Multiplikation?
Zeige, die Definitionen
x + y := x + y
und
x · y := x · y
hängen nicht von den Repräsentanten der Äquivalenzrelationen x und y ab.
Wobei x und y Äquivalenzklassen sind.
Ich komme hier einfach nicht auf einen richtigen Ansatz. Kann mir jemand helfen ?
Ist n ∈ Z>0 eine positive ganze Zahl, so definieren wir für x, y ∈ Z
x ≡ y :⇐⇒ x − y ist ein Vielfaches von n.
Kanbst du bitte die komplette Frage mit allen Voraussetzungen einstellen? Am besten als Foto? Für allgemeine Relationen "+" und "•" ist das nämlich falsch.
st n ∈ Z>0 eine positive ganze Zahl, so definieren wir für x, y ∈ Z
x ≡ y :⇐⇒ x − y ist ein Vielfaches von n.
Hilft dir das ?
Was an "kannst du bitte die komplette Frage ... einstellen" ist missverständlich? Mach bitte ein Foto und interpretiere die Aufgabe nicht.
Das ist die ganze Aufgabe...
1 Antwort
+, ⋅ ℤ/nℤ × ℤ/nℤ → ℤ/nℤ
Es ist zu zeigen, dass wenn x₁ ∼ x₂ und y₁ ∼ y₂ auch x₁ + y₁ ∼ x₂ + y₂ und x₁ ⋅ y₁ ∼ x₂ ⋅ y₂, also dass wenn man statt x₁, y₁ die Repräsentanten x₂, y₂ wählt, man trotzdem in der selben Äquivalenzklasse landet.
x₁ - x₂ = k ⋅ n und y₁ - y₂ = l ⋅ n mit ganzen Zahlen n, l.
Umstellen nach x₁, y₁: x₁ = k ⋅ n + x₂ und y₁ = l ⋅ n + y₂.
Berechne durch Einsetzen (x₁ + y₁) - (x₂ + y₂) und (x₁ ⋅ y₁) - (x₂ ⋅ x₁). Schreibe als Produkt mit dem Faktor n.