Woher weiß man bei der Grenzwertberechnung, welche binomische Formel man nutzt?
zb bei Aufgaben wie lim x-->4 x²-16/x-4
2 Antworten
Mein Glaskugel sagt mir, dass (x² - 16) / (x - 4) gemeint sein könnte.
Feste Regeln gibt es nicht, aber die dritte binomische Formel drängt sich auf:
(x + 4) * (x - 4) = x² - 16.
Es ist also lim x->4 (x + 4) gesucht und das ist 8.
Das ist schwer zu erklären. Es gibt kein allgemeingültiges Rezept. Wenn ich jetzt schreibe: "Das sieht man doch.", ist das auch nicht unbedingt hilfreich.
Man muss versuchen, aus den bekannten Formeln irgendwas zu "basteln". Wenn da steht (x² - 16), könnte man sich an die dritte binomische Formel (x - b) * (x + b) = x² - b² erinnern. (Das a heißt heute mal x.) Dann könnte man sich überlegen, dass die 16 irgendwie b² sein muss, dann kommt man auf b = 4.
Wenn man so etwas wie (x² - 4x + 4) sieht, könnte man sich an die zweite binomische Formel (x - b)² = x² - 2xb + b² erinnern. Aus -4x = -2xb folgert man b = 2. Glücklicherweise ist b² = 2² = 4, also passt es. Wenn es nicht passt, schiebt man sich es mit quadratischer Ergänzung so hin, dass es passt. (Das hätte bei dieser Aufgabe allerdings nicht geholfen.)
Hallo,
eine Differenz aus zwei Quadraten verlangt die dritte Formel.
x²-16=(x+4)*(x-4).
So kannst Du Zähler und Nenner durch (x-4) kürzen und es bleibt x+4 übrig.
Nun ist es kein Problem mehr, Grenzwerte zu bestimmen.
Herzliche Grüße,
Willy
Wann würde man die 2. Formel benutzen? Ich verstehe nicht wirklich, wann man welche nutzt