Was bedeutet Limes von x gegen x0?
Ich habe in der Grenzwertberechnung soweit alles verstanden, aber wo ich wirklich nicht durchblicke ist: was bedeutet Limes von x->x0? Unser Lehrer hat das nie wirklich erklärt sondern als selbstverständlich angesehen, dass man sowas weiß... Danke schonmal!
2 Antworten
wenn xo nicht definiert ist bzw xo eine Polstelle ist;
zB f(x) = 1/(x-2) dann xo=2 ; du kannst 2 nicht in die Funktion einsetzen;
dann interessiert man sich für den Grenzwert mit lim (x->2)
und zwar von links gegen 2 und von rechts gegen 2
man fragt sich, wie verhält sich die Kurve links bzw rechts von der Polstelle.
Limes bedeutet Grenzwert.
Korrekte Sprechweise ist: "Limes x gegen x0 von ..."
Nach "von" folgt ein Funktionsterm.
Wir betrachten die Funktion f gegeben durch f(x) = (x²-4) / (x-2). Der Definitionsbereich der Funktion ist D = R \ {2}
Wir wollen untersuchen, wie sich der Graph in der Nähe von x0 = 2 verhält. Dazu bestimmen wir Grenzwert für x gegen 2, also den "Limes x gegen 2 von f(x)"
Wir lassen unsere Werte von x gegen x0 = 2 streben, indem wir schrittweise immer näher an den Wert 2 herankommen:
von links kommend: 1,9 ... 1,99 ... 1,999 ... 1,9999 usw.
von rechts kommend: 2,1 ... 2,01 ... 2,001 .... 2,0001 usw.
Den Term (x²-4) / (x-2) kann man vereinfachen:
(x²-4) / (x-2) = (x+2) * (x-2) / (x-2) = x+2
Damit können wir den Grenzwert berechnen:
Limes x gegen 2 von f(x) = Limes x gegen 2 von x+2 = 2 + 2 = 4
Am Ende durften wir für x den Wert von x0 einsetzen.
Da der Funktionswert an der Stelle x0=2 nicht definiert ist, können wir lediglich sagen, dass sich die Funktionswerte dem Wert 4 annäheren, wenn wir uns der Stelle x0 = 2 nähern.