Was bedeutet Limes von x gegen x0?

2 Antworten

Limes bedeutet Grenzwert.

Korrekte Sprechweise ist: "Limes x gegen x0 von ..."

Nach "von" folgt ein Funktionsterm.

Wir betrachten die Funktion f gegeben durch f(x) = (x²-4) / (x-2). Der Definitionsbereich der Funktion ist D = R \ {2}

Wir wollen untersuchen, wie sich der Graph in der Nähe von x0 = 2 verhält. Dazu bestimmen wir Grenzwert für x gegen 2, also den "Limes x gegen 2 von f(x)"

Wir lassen unsere Werte von x gegen x0 = 2 streben, indem wir schrittweise immer näher an den Wert 2 herankommen:

von links kommend: 1,9 ... 1,99 ... 1,999 ... 1,9999 usw.

von rechts kommend: 2,1 ... 2,01 ... 2,001 .... 2,0001 usw. 

Den Term (x²-4) / (x-2) kann man vereinfachen:

(x²-4) / (x-2) = (x+2) * (x-2) / (x-2) = x+2

Damit können wir den Grenzwert berechnen:

Limes x gegen 2 von f(x) = Limes x gegen 2 von x+2 = 2 + 2 = 4

Am Ende durften wir für x den Wert von x0 einsetzen.

Da der Funktionswert an der Stelle x0=2 nicht definiert ist, können wir lediglich sagen, dass sich die Funktionswerte dem Wert 4 annäheren, wenn wir uns der Stelle x0 = 2 nähern.

wenn xo nicht definiert ist bzw xo eine Polstelle ist;

zB f(x) = 1/(x-2) dann xo=2 ; du kannst 2 nicht in die Funktion einsetzen;

dann interessiert man sich für den Grenzwert mit lim (x->2)

und zwar von links gegen 2 und von rechts gegen 2

man fragt sich, wie verhält sich die Kurve links bzw rechts von der Polstelle.

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