Wofür leitet man Funktionen ab?
Weil ich demnächst 2 Wochen beurlaubt bin, muss ich mir das erstmal selber beibringen. Ich verstehe wie man Ableitungen macht, aber wofür gibt es so viele? Was will man denn mit einer erreichen? Ich hab verstanden, dass man mit der 1.Ableitung die Steigung von dem Graph berechnen kann. Vielleicht hab ich das auch falsch verstanden, aber wie geht das denn? Wenn man einen Graph z.B. des3.Grades hat, ist ja die Steigung unterschiedlich. Ist das dann die Durchschnittssteigung oder wie? Oder ist das die, von einem bestimmten Punkt?
Danke schon mal!
5 Antworten
Die erste Ableitung gibt die Steigung einer Funktion im einem Punkt x an. Du errechnest eine generelle Ableitung, deiner Aussage nach zu urteilen weißt du wie das funktioniert. Wenn du jetzt für x einen Wert einsetzt, so erhälst du die Steigung des Graphen in genau diesem Punkt. Beispiel: Grundfunktion ist f(x)= 2x³ + 3x² + 2x + 5 (also ein Funktion dritten Grades)
so ist die erste Ableitung also f'(x) = (3 * 2)x² + (2 * 3)x + 2 d.h. f'(x)=6x² + 6x +2 setzt du jetzt für x einen Wert ein, so weißt du welche Steigung der y-Wert in diesem Punkt hat.
Wenn die Steigung 0 ist, so besitzt der Graph an dieser Stelle einen Extremwert, sprich einen Hoch- bzw einen Tiefpunkt.
Du findest also heraus ob ein Hoch-oder Tiefpunkt vorliegt, indem du die erste Ableitung, in diesem Falle f'(x)= 6x² + 6x + 2 = 0 setzt.
Die Zweite Ableitung dient dazu Wendepunkte ausfindig zu machen. Du leitest einfach die erste Ableitung nach genau den selben Regeln ab. Daraus ergibt sich: f''(x)= 12x + 6
Setzt man diese Ableitung = 0 so zeigt sie dir an für welches x die Kurve eine Wende von "+" nach "-" oder von "-" nach "+" macht.
Die dritte Ableitung dient lediglich zur Kontrolle.
Falls du noch genauere Fragen zur Kurvendiskussion hast, kannst du dich gerne melden.
Liebe Grüße Chriesel
Danke für diese ausführliche Antwort.
Und auf dein Angebot gehe ich gerne ein, ich habe zwei Fragen: [Erschreck dich nicht beim ersten Blick der zweiten Frage, das sind nur Vermutungen, zu denen, falls sie wahr sind, ich schon mal Fragen im Voraus stelle :D]
- Wie ist das mit der Steigung? Von wo wird die berechnet? Vom geringsten Punkt davor, den es ja eigentlich nicht gibt?
2.Hier würde jetzt die 2.Ableitung sagen, dass die Grade immer eine Wendung von -1/2 machen würde? Ich kann mir das nicht so genau vorstellen. Dass das eine Kurve ist, ist mir klar... Ist das dann umso größer(im Plusbereich), kleiner (im Minusbereich) die Zahl, desto stärker die Kurve? Und was bedeutet das "-"? Das zeigt doch bestimmt ob die Kurve dann steigt oder fällt. Nur wenn ein Graph Punktsymmetrisch ist, dann kann dort doch nicht nur ein Ergebnis rauskommen? Mir kam grad der Gedanke mit Wurzel ziehen (ergebnis mit +-) aber wenn man davon ausgehen würde, dass diese Funktion punktsymmetrisch wäre (sagen wir 2x³+5x), würde man ja auch bei der 2.Ableitung keine Wurzel ziehen können. Zusammenfassend: Wie ist das denn wirklich mit dem"+" oder "-" und mit der Größe der Zahl?
Danke schon mal!
erste ableitung an einer bestimmten stelle gibt die momentane änderungs rate an,d.h ob zb die bevölkerungzahl steigend oder sinkend ist
was die zweite ableitung nochmal angibt weiss ich nicht mehr
Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung in jedem Punkt an, denn die Ableitung selbst hat ja auch ganz viele Punkte.
Danke für deine Antwort, ich habe aber noch ein paar Fragen.
Meinst du jetzt die erste Ableitung?
Die gibt die Steigung aller Punkte an? Das heißt die hat die gleiche Steigung wie der Graph selber? Dann wär es aber der gleiche Graph?
Also so wirklich anschaulich kann man das immer nur von einer Ableitung zur nächsten sagen.
Die Ableitung einer Funktion f ist eine andere Funktion f', die zu jedem x die Steigung genau an dem Punkt x angibt. Einfach mal aufmalen.
Für höhere Ableitungen gilt das immer auch genau für die nächst niedrigere. Die 46. Ableitung ist also die Steigung der 45.
Das einfachste was man bei einer Funktion immer machen kann, ist die Nullstellen zu bestimmen. Wenn man das bei einer Ableitung macht, weiss man also wann die Steigung der abgeleiteten Funktion Null ist. Solche Punkte sind auch in der abgeleiteten Funktion immer irgendwie "besonders". Bei einer Parabel ist der Nullpunkt der Ableitung z.B. genau der Scheitelpunkt.
Bei höheren Ableitungen wird diese "Besonderheit" immer abstrakter oder unscheinbarer. Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind in der ursprünglichen Funkten die Punkte wo sie von einer Zunahme der Steigung zu einer Abnahme wechselt. Das ist nicht mehr so "markant" wie ein Scheitelpunkt, aber dennoch ein "ausgezeichneter" Punkt.
Auf diese Weise kann man durch Ableiten und Nullstellensuche die ausgezeichneten Punkte der Funktion finden. Dazu macht man noch eine Grenzwertbetrachung gegen Unendlich und ggf. noch gegen Pole sonstige Definitionslücken und kann so den Verlauf der Funktion beschreiben, ohne jeden Wert einzeln ausrechnen zu müssen.
Bei Polynomen der Ordnung n gilt noch, dass die Ableitung nach n Schritten 0 ist. Die 0 selber hat wieder die Ableitung 0. Also sind sie zwar formal beliebig oft ableitbar und damit "glatt", aber die Ableitungen enthalten keine Information mehr. Umgekehrt kann man anschaulich sagen, dass Polynome umso komplizierter oder "Interessanter" sein können, je höher ihre Ordnung ist.
okay, Danke für diese ausführliche Antwort. Ich hab jetzt wenigstens etwas schon mal verstanden, was ich vorher noch nicht verstanden habe. und den Rest werde ich morgen bestimmt schon verstehen :)
also ich erklärts dir mal mit der ableitumng bestimmt man die steigung in einem geweissen pznkt weil es gibt ja funbktionen wo nicht pberlall die selbe steigumg herrscht zb bei parabel also sucht am sich einen sehr nahen pzunkt laso man berechnet sozidsagen die gleichung der tangenten weil die zeowe pzunkze sozusagen quf einander leigen uznd mann kann so auch versch punkte ausrechnen durhc die steugigujgsneigenschaften sry ich schreob serh schnnel hab grtad keine zeot ich hoff du kannst es lese man abn ,methmaLS albleizen bhochgung tzioefpunkte audsrechenn da steigung dort 0 ist ds es ne mehr höger geht usw bbb danke dass du es geleyen hast bb :)
höäää?
Danke trotzdem und einen Daumen hoch trotzdem ;D