Wo ist die 3 in der Schnittmenge U ∩ V hin?
Wie man Sp(1, 1, 3, -2) bekommt habe ich verstanden. Nun liesst man daraus die Basis von U ∩ V ab. Jedoch ist diese nur noch =Sp (1, 1, -2). Siehe blau markierte Stelle. Wo ist nun die 3 hin?
Wenn's hilft: Das war U und V ursprünglich:
3 Antworten
Eigentlich sollte dir direkt auffallen, dass Sp((1, 1, 3, -2)^T) NIE eine Lösung des Schnittmengenproblems sein kann. Überlege dir einmal selbst warum nicht.
Hinweis: Was ist die höchstmögliche Dimension des Schnittraums? Was ist die Dimension des Oberraums von Sp((1, 1, 3, -2)^T)?
(1, 1, 3, -2) stellt die Linearkombination dar, mit der du die vier Basisvektoren der beiden gegebenen Räume bilden mußt, um den Lösungsvektor für den Schnittraum zu bekommen.
Darf ich fragen wofür diese Aufgabe ist und an welcher Institution sie so gestellt wurde?
Da bin ich dann mal wieder ein wenig offener. Wenn du an Hochschulstoff arbeitest solltest du DRINGEND die diesbezüglichen Grundlagen lernen. Schau dir die detailierte Antwort von @FataMorgana2010 an, aber wenn du an der Hochschule überhaupt weiter kommen willst mußt du solch offensichtliche Sachen wie das der Lösungsraum ein Teilraum des R^3 ist und aus einer Linearkombination aus vier Vektoren gebildet wird erkennen und auch von einander trennen können
Nein, es wird nicht einfach die 3 weggelassen - das ist hier tatsächlich ein (blöder) Zufall, dass die beiden Vektoren sich so ähnlich sehen.
Was du hast, ist ja folgendes: gesucht sind die Vektoren, für die es Linearkombinationen in beiden UVR gibt, d. h. es muss Koeffizienten a, b und c, d geben, so dass gilt:
I. x= a u_1 + b u_2
II. x= c v_1 + d v_2
Zusammengenommen also
0 = a u_1 + b u_2 - c v_1 - d v_2.
Das ist ein LGS, dazu hast du dann die Matrix A. Die Lösungsmenge dieses LGS ist
Sp((1, 1, 3, -2)).
Diese Lösungen setzt du dann oben in I (a = 1, b=1) oder II (c=3, d=-2) ein. Und das Ergebnis ist in beiden Fällen (sonst hätte man sich irgendwann verrechnet) dasselbe, nämlich
x = (1,1,-2), und damit ist U geschnitten V = Span((1,1,-2)).
denn in I eingesetzt:
x = 1 * (0,1,-2) + 1 * (1, 0, 0 ) = (1,1,-2)
und in II eingesetzt ebenfalls:
x = 3 * (1, -1, 0) - 2 * (1, -2 , 1) = (1, 1, -2).
Dass dieser Vektor so ähnlich aussieht wie der obige ist wie gesagt reiner Zufall.
Anscheinend denkst du, dass die Zahlen 1, 1, -2 aus dem Vektor (1, 1, -2)ᵀ direkt die Zahlen 1, 1, -2 sind, die in dem Lösungsvektor (1, 1, 3, -2)ᵀ vorkommen. Das ist jedoch nicht der Fall, sondern mehr oder weniger Zufall.
Die Zahlen 1, 1 bzw. 3, -2 sind die Koeffizienten für eine entsprechende Linearkombination der Basisvektoren von U bzw. V. Und wenn man diese Linearkombination berechnet, erhält man (1, 1, -2)ᵀ.
wofür - um die Basis von U ∩ V herauszufinden
Institution - ETH Zürich