wiso ist die summe von3 aufeinander folgende Zahlen immer durch 3 Teilbar?

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11 Antworten

Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist immer durch 3 teilbar.

Das zu beweisen, ist nicht schwierig:

Sei n eine natürliche Zahl.

These: n + (n + 1) + (n + 2) ist durch 3 teilbar.

Den Ausdruck n + (n + 1) + (n + 2) können wir umschreiben:

n + (n + 1) + (n + 2)
= n + n + 1 + n + 2
= 3n + 3

Jetzt stellt sich die Frage: Ist 3n + 3 durch 3 teilbar? Ja!

3n + 3
——— = n + 1
    3

Und damit wäre bewiesen, dass n + (n + 1) + (n + 2) durch 3 teilbar ist. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Kommentar von ReiInDerTube123
02.09.2016, 21:01

Gut das endlich mal jemand allgemein ohne krumme Beispiele rangegangen ist.

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Das stimmt doch gar nicht!

Von 3 aufeinander folgenden, natürlichen Zahlen ist immer nur EINE aber NIEMALS alle drei Zahlen durch 3 teilbar!

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Kommentar von Wechselfreund
02.09.2016, 17:06

Stand da nicht "Summe aus"?

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Ich vermute, dass du die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen meinst.

Testen wir das mal mit 0, 1 und 2. Die Summe ist 3 und damit durch 3 teilbar.

Wenn du die nächste mögliche Kombination nimmst, hättest du 1, 2 und 3, was ja das Gleiche ist wie 0+1, 1+1 und 2+1, also jede Zahl um 1 erhöht.

(0+1)+(1+1)+(2+1) ist das Gleiche wie (0+1+2)+3. Wir wissen, dass das in der Klammer durch 3 teilbar ist und jetzt haben wir gezeigt, dass einfach 3 hinzugefügt wurde. Damit ist diese Folge auch durch 3 teilbar.

Jedes Mal, wenn du also 3 aufeinanderfolgende Zahlen hast, ist das im Prinzip das Gleiche, nur dass du beliebig oft 3 addiert hast.

---

Ein anderer Ansatz noch:

Du nimmst eine beliebige Zahl x, die Zahl, die davor kommt (also x-1) und die Zahl die danach kommt (also x+1). Damit hast du drei aufeinanderfolgende Zahlen.

x+(x-1)+(x-1) = x+x+x = 3x

und das ist durch 3 teilbar für jede Zahl, die du für x einsetzt.

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Kommentar von Rhenane
02.09.2016, 16:46

nur kleiner Schreibfehler in der vorletzten Zeile; eine der Klammern muß (x+1) heißen

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Sind sie nicht, oder meinst du nicht die Zahlen sondern deren Summe? Meinst du natürliche Zahlen?

Bei dreien ist eine sowieso durch drei teilbar und die anderen beiden haben je einen Rest von 1 und 2, was wieder summiert eine 3 ergibt und somit die Summe restlos durch 3 teilbar macht.

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Kommentar von majawarana
02.09.2016, 16:33

Ja genau das meine ich

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Von 3 aufeinader folgenden Zahlen ist genau eine durch 3 teilbar, eine hat Rest 1 und eine Rest 3.

Bei Summation ist der "Rest" 3 und daher wieder durch drei teilbar.

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Jede Zahl mit einer Quersumme welche durch 3 geht ist IMMER durch Drei teilbar. z.B 123, 1092, 1500 usw.. hast du drei gleiche Ziffern z.B 444, müssen diese natürlich  in der 3-er Reihe sein denn, wenn du drei mal die gleiche zahl addierst (4+4+4) entspricht das einer Multiplikation mit 3 (3*4)

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Nehmen wir das ganze mal an einem Beispiel durch: 6+7+8 kann man genauso schreiben wie 7+7+7=21 ; 21/3 =7. Die "äußeren" Zahlenwerte 6 und 8 ergeben immer die Differenz zwischen der addierten durch drei teilbaren Zahl und und der mittleren Zahl.

Anders formuliert 6+8=14 ; 14/2=7 ----> d.h 6+8=2*7 ------> d.h 6+7+8= 2*7+7=3*7 und das lässt sich immer durch drei teilen!

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ganz einfach, nennen wir die erste Zahl allgemein "n" (die zweite wäre dann n+1 und die dritte n+2). Wenn man die 3 aufeinander folgende Zahlen jetzt miteinander addiert erhält man: 

n + (n+1) + (n+2) = 3*n + 3 = 3*(n+1)

wie man sieht, kann man die 3 herausheben und damit sehen, dass die Summe durch 3 teilbar ist. Und weil wir eine allgemeine (natürliche) Zahl n angenommen haben, gilt das natürlich für alle Zahlen

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1, 2 und 3 sind drei aufeinander folgende Zahlen aber nur eine von ihnen ist durch drei teilbar.

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(n-1) + n+ (n+1) = 3 • n

(3 • n) / 3 = n

oder

n + (n+1) + (n+2) = 3 • n + 3

(3 • n + 3) / 3 = n +1

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Kommentar von Mikkey
02.09.2016, 16:55

Tatsächlich noch die kurze und trotzdem vollständige Antwort gefunden ;-).

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Wie kommt man denn da drauf?

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