Wieso kommt man bei z^2=-1 auf das Ergebnis z1=i und z2=-i?

Kann mir jemand erklären wie man auf dieses Ergebnis kommt, vor allem wieso man dann auch -i als Ergebnis hat?

Answer 1

[Eisscherge]

Eine Zahl z, welche im Quadrat steht kann NIE negativ sein. Dementsprechend ist die oben beschriebene Gleichung nicht lösbar mit reellen Zahlen.

Da das Ergebnis ja negativ ist, nimmt man darum "i" für die imaginären Zahlen. Das Gesetz, dass Positiv/Negativ der Basis egal ist, kann man hier auch wieder anwenden.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[michiwien22]

$z^2=\ -1=\ e^{\text{i}\pi\ +\ \text{i}n\cdot2\pi}$ $z\ =\ \left(e^{i\pi+\text{i}\ n\cdot2\pi}\right)^{^{\frac{1}{2}}=\ }e^{\text{i}\frac{\pi}{2}+\text{i}\ n\cdot\pi}$

n=0: z=i

n=1: z=-i

Answer 3

[rumar]

Die imaginäre Einheit i wird so definiert, dass sie die Gleichung i^2+1=0 erfüllt. Ferner sollen in der Menge der komplexen Zahlen (das sind alle Zahlen der Form x + i *y mit reellen x und y) dieselben Rechengesetze gelten wie in der Menge der reellen Zahlen.

Aus diesen Forderungen ergibt sich dann ganz von selber, dass auch die Zahl -i eine Lösung der Gleichung z^2+1=0 sein muss.

Answer 4

[seifreundlich2]

In der Welt der komplexen Zahlen gilt: i² = -1. Also ist die Wurzel aus -1 i, und auch -i, weil minus mal minus plus ergibt.