Wieso ist 3mal 0,333333 nicht 1?
Hallo zusammen
Mir ist neulich in Mathe folgendes aufgefallen:
1/3 ist ja 0,periode3 (Ich schreibe einfach ab jetzt 0,333 ihr wisst dann was gemeint ist)
Rechnet man 1/3 + 1/3 + 1/3 erhält man ja 3/3 [gleich 1] Berechne ich aber 0,333 + 0,333 + 0,333 so erhalte ich 0,999 [ungleich 1]
Eigentlich habe ich ja zweimal genau dieselben Rechnungen, nur einmal im im rationalen und einmal im irrationalen Zahlenbereich. Wieso erhalte ich dann aber zwei unterschiedliche Ergebnisse? Liegt es daran, dass 0,333 nur ein Näherungswert für 1/3 ist oder hat mein Gedankenspiel einen tieferen mathematischen Hintergrund?
Vielen Dank und LG
13 Antworten
Das ist eine sehr gute Frage, und diese Frage wird immer wieder missverstanden. Der springende Punkt, der das vermeintliche Paradox auflöst ist die Feststellung, dass unsere Schrift nur eine Zahl repräsentiert. Das, was wir auf unser Blatt Papier schreiben, ist nicht die Zahl 1, sondern soll die Zahl 1 darstellen. Die Zahl 1 selbst ist ein Konzept, und nie in deinem Leben wirst du eine "echte" 1 sehen, aber du wirst immer einen Apfel oder eine Birne sehen. Ähnlich darfst du den Zeichen 0.9(P) und 1 nicht immer trauen, denn wenn du abstrakt denkst, siehst du wie man das ganze richtig rechnet.
1/3 ist ja 0,periode3
Korrekt.
Rechnet man 1/3 + 1/3 + 1/3 erhält man ja 3/3 [gleich 1]
Goldrichtig.
Berechne ich aber 0,333 + 0,333 + 0,333 so erhalte ich 0,999.
Absolut richtig, denn so rechnet man mit Dezimalzahlen, und du bekommst nirgendwo Probleme, weil nirgendwo eine Stelle über 10 kommt.
[ungleich 1].
Hier drückt der Schuh! Alle deine Rechnungen sind vollkommen korrekt, also sollte sich auch kein Paradox ergeben. Das einzige, was erst zum Paradox führt ist deine Annahme, dass 1 ≠ 0.9(P), diese Annahme muss also falsch sein.
Diese Zahlen sehen anders aus, aber sind sie deshalb anders? Ich kann 1 auch als 4 - 3 schreiben, aber danach ist es immer noch die selbe Zahl.
Die reellen Zahlen haben eine schöne Eigenschaft, die sich Dichtheit nennt. Immer dann, wenn du zwei reelle Zahlen hast, die ungleich sind, gibt es eine Zahl zwischen ihnen. Nicht nur eine, sondern unendlich viele!
Sei nun x eine Zahl zwischen 0.9(P) und 1. Diese hat auch eine Dezimalentwicklung, da die Zahl kleiner als 1 sein muss, ist die Vorkommastelle eine 0. Die erste Nachkommastelle muss 9 sein, da die Zahl größer als 0.9 sein muss. Die zweite Nachkommastelle muss 9 sein, da die Zahl größer als 0.99 sein muss. Das kannst du die ganze Zeit so weiter machen, und du siehst, dass deine Zahl die Dezimalentwicklung 0.9(P) haben muss. Dann gälte aber 0.9(P) ≠ 0.9(P), was ein Widerspruch wäre. Unsere Annahme, dass 0.9(P) ≠ 1 ist, muss also falsch sein. Folglich 0.9(P) = 1.
Dieser Beweis ist an sich richtig, aber müsste, um als vollwertiger Beweis zu stehen, etwas rigoroser sein, das lasse ich jetzt aber weg. Das Prinzip, zwischen zwei Zahlen eine weitere reinzuquetschen lässt sich auf Dedekindschnitte zurückführen. Eine weitere Strategie, den Beweis zu führen ist, sich die echte Definition von Dezimalentwicklungen anzuschauen. Die Zahl 0.9(P) ist in der (Cauchyschen) Definition der reellen Zahlen nicht als Prozess definiert (wie viele fälschlicherweise denken), an dem sich immer mehr Neunen hintereinanderreihen und nie aufhören, sondern der Grenzwert der Folge von immer mehr (endlich vielen) Neunen, somit also ein statisches Objekt. Die reelle Zahl, die zu 0.9(P) gehört, ist also der Grenzwert der Folge (0.9;0.99;0.999;0.9999;...), und dieser ist ganz klar 1.
LG
Das hat meine Frage sehr ausführlich und verständlich beantwortet, vielen Dank! (Auch an alle anderen Antwortgeber, habe mmich sehr über die ausführlichen Antworten gefreut und würde am liebsten allen ein Sternchen geben)
Das hat tatsächlich einen tieferen mathematischen Hintergrund. Kurz gesagt 0,999Periode und 1 ist das gleiche.
Die periodische Dezimalzahl 0,999… (auch mit mehr oder weniger Neunern vor den Auslassungspunkten geschrieben oder als 0,9 oder 0,(9)) bezeichnet eine reelle Zahl, von der in der Mathematik gezeigt werden kann, dass sie gleich 1 ist. Mit anderen Worten: Die Symbole „0,999…“ und „1“ stellen unter den Regeln der üblichen Stellenwertnotation für die reellen Zahlen dieselbe Zahl dar. Beweise dieser Gleichung wurden mit unterschiedlichem Grad an Strenge formuliert, je nach bevorzugter Einführung der reellen Zahlen, Hintergrundannahmen, historischem Kontext und Zielgruppe.
Ich empfehle hierzu, auch die "diskussionsseite" des Wiki-Artikels zu lesen. So glasklar und kurz kann man das nicht behaupten ;)
0,̅9̅ = 1
Oder: 0,(Periode)9 ist gleich 1.
0,999… ist eben nicht ungleich 1, sondern gleich 1.
Das ist ein Problem der Schreibweise im Stellenwertsystem.
Da die Frage schon anderweitig beantwortet wurde, noch kurz eine Bemerkung am Rande. Du schreibst:
nur einmal im im rationalen und einmal im irrationalen Zahlenbereich.
Dies ist sehr falsch, und dahinter steht der mit Abstande verbreitetste Schülerfehler, sie "rational"/"irrational" über die Kommastelllen zu merken - und das ist falsch! So ist das nicht definiert!
"Ratio" heißt in der Mathematik soviel wie "Verhältnis" (Größenverhältnis, Quotient). Von dieser Bedeutung von "Ration" leitet sich auch das deutsche Wort "Rate" ab; noch deutlicher ist es im Englischen: Das englische "ratio" bedeutet "Größenverhältnis"/"Quotient".
- Eine rationale Zahl ist eine "Verhältniszahl", sie ist gleich einem Verhältnis (Quotient) zweier ganzer Zahlen. Von "Q" wie "Quotient" stammt auch die Bezeichnung "Q" für die Menge der rationalen Zahlen.
- Eine irrationale Zahl ist eine, die nicht rational ist, also nicht gleich einem Verhältnis zweier ganzer.
All das hat nichts damit zu tun, wie ich die Zahl schreibe. 1/3=0,[periode]3 sind beides zwei verschiedene Schreibweisen für die selbe Zahl, und diese ist rational!
In der Schule lernt ihr dann immer, dass irrationale Zahlen unendlich viele, nichtperiodische Nachkommastellen haben. Das ist ja auch richtig, nur leider machen fast alle Schüler dann aus diesem abgeleiteten Satz die Definition (was falsch ist), und mit der zeit vergessen sie zumeist das "nichtperiodisch", dann wird's noch falscher!
Generell: Verwechsle nicht die Schreibweise einer Zahl mit der Zahl selbst! Die zwölf zB ist immer dieselbe Zahl, egal, ob ich sie so schreibe, "zwölf" (deutsches Zahlwort), "twelve" (englisches Zahlwort), "12" (Dezimalzahl), "1100" (Binärzahl) oder "XII" (römische Zahl) oder noch anders.
PS: Und nebenbei hast du entdeckt, dass 0,[periode]9 gleich 1 ist.
0,Periode 9 werden aber auch als 1 betrachtet und somit stimmt es