Wieso ist 3mal 0,333333 nicht 1?

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12 Antworten

Das ist eine sehr gute Frage, und diese Frage wird immer wieder missverstanden. Der springende Punkt, der das vermeintliche Paradox auflöst ist die Feststellung, dass unsere Schrift nur eine Zahl repräsentiert. Das, was wir auf unser Blatt Papier schreiben, ist nicht die Zahl 1, sondern soll die Zahl 1 darstellen. Die Zahl 1 selbst ist ein Konzept, und nie in deinem Leben wirst du eine "echte" 1 sehen, aber du wirst immer einen Apfel oder eine Birne sehen. Ähnlich darfst du den Zeichen 0.9(P) und 1 nicht immer trauen, denn wenn du abstrakt denkst, siehst du wie man das ganze richtig rechnet.

1/3 ist ja 0,periode3

Korrekt.

Rechnet man 1/3 + 1/3 + 1/3 erhält man ja 3/3 [gleich 1]

Goldrichtig.

Berechne ich aber 0,333 + 0,333 + 0,333 so erhalte ich 0,999.

Absolut richtig, denn so rechnet man mit Dezimalzahlen, und du bekommst nirgendwo Probleme, weil nirgendwo eine Stelle über 10 kommt.

[ungleich 1].

Hier drückt der Schuh! Alle deine Rechnungen sind vollkommen korrekt, also sollte sich auch kein Paradox ergeben. Das einzige, was erst zum Paradox führt ist deine Annahme, dass 1 ≠ 0.9(P), diese Annahme muss also falsch sein.

Diese Zahlen sehen anders aus, aber sind sie deshalb anders? Ich kann 1 auch als 4 - 3 schreiben, aber danach ist es immer noch die selbe Zahl.

Die reellen Zahlen haben eine schöne Eigenschaft, die sich Dichtheit nennt. Immer dann, wenn du zwei reelle Zahlen hast, die ungleich sind, gibt es eine Zahl zwischen ihnen. Nicht nur eine, sondern unendlich viele!

Sei nun x eine Zahl zwischen 0.9(P) und 1. Diese hat auch eine Dezimalentwicklung, da die Zahl kleiner als 1 sein muss, ist die Vorkommastelle eine 0. Die erste Nachkommastelle muss 9 sein, da die Zahl größer als 0.9 sein muss. Die zweite Nachkommastelle muss 9 sein, da die Zahl größer als 0.99 sein muss. Das kannst du die ganze Zeit so weiter machen, und du siehst, dass deine Zahl die Dezimalentwicklung 0.9(P) haben muss. Dann gälte aber 0.9(P) ≠ 0.9(P), was ein Widerspruch wäre. Unsere Annahme, dass 0.9(P) ≠ 1 ist, muss also falsch sein. Folglich 0.9(P) = 1.

Dieser Beweis ist an sich richtig, aber müsste, um als vollwertiger Beweis zu stehen, etwas rigoroser sein, das lasse ich jetzt aber weg. Das Prinzip, zwischen zwei Zahlen eine weitere reinzuquetschen lässt sich auf Dedekindschnitte zurückführen. Eine weitere Strategie, den Beweis zu führen ist, sich die echte Definition von Dezimalentwicklungen anzuschauen. Die Zahl 0.9(P) ist in der (Cauchyschen) Definition der reellen Zahlen nicht als Prozess definiert (wie viele fälschlicherweise denken), an dem sich immer mehr Neunen hintereinanderreihen und nie aufhören, sondern der Grenzwert der Folge von immer mehr (endlich vielen) Neunen, somit also ein statisches Objekt. Die reelle Zahl, die zu 0.9(P) gehört, ist also der Grenzwert der Folge (0.9;0.99;0.999;0.9999;...), und dieser ist ganz klar 1.

LG

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Kommentar von latricolore
18.07.2016, 00:51

Mamma mia... :-)

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Kommentar von Hasenfan741
19.07.2016, 23:36

Das hat meine Frage sehr ausführlich und verständlich beantwortet, vielen Dank! (Auch an alle anderen Antwortgeber, habe mmich sehr über die ausführlichen Antworten gefreut und würde am liebsten allen ein Sternchen geben)

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Das ist ein Problem der Schreibweise im Stellenwertsystem.

Da die Frage schon anderweitig beantwortet wurde, noch kurz eine Bemerkung am Rande. Du schreibst:

nur einmal im im rationalen und einmal im irrationalen Zahlenbereich.

Dies ist sehr falsch, und dahinter steht der mit Abstande verbreitetste Schülerfehler, sie "rational"/"irrational" über die Kommastelllen zu merken - und das ist falsch! So ist das nicht definiert!

"Ratio" heißt in der Mathematik soviel wie "Verhältnis" (Größenverhältnis, Quotient). Von dieser Bedeutung von "Ration" leitet sich auch das deutsche Wort "Rate" ab; noch deutlicher ist es im Englischen: Das englische "ratio" bedeutet "Größenverhältnis"/"Quotient".

  • Eine rationale Zahl ist eine "Verhältniszahl", sie ist gleich einem Verhältnis (Quotient) zweier ganzer Zahlen. Von "Q" wie "Quotient" stammt auch die Bezeichnung "Q" für die Menge der rationalen Zahlen.
  • Eine irrationale Zahl ist eine, die nicht rational ist, also nicht gleich einem Verhältnis zweier ganzer.

All das hat nichts damit zu tun, wie ich die Zahl schreibe. 1/3=0,[periode]3 sind beides zwei verschiedene Schreibweisen für die selbe Zahl, und diese ist rational!

In der Schule lernt ihr dann immer, dass irrationale Zahlen unendlich viele, nichtperiodische Nachkommastellen haben. Das ist ja auch richtig, nur leider machen fast alle Schüler dann aus diesem abgeleiteten Satz die Definition (was falsch ist), und mit der zeit vergessen sie zumeist das "nichtperiodisch", dann wird's noch falscher!

Generell: Verwechsle nicht die Schreibweise einer Zahl mit der Zahl selbst! Die zwölf zB ist immer dieselbe Zahl, egal, ob ich sie so schreibe, "zwölf" (deutsches Zahlwort), "twelve" (englisches Zahlwort), "12" (Dezimalzahl), "1100" (Binärzahl) oder "XII" (römische Zahl) oder noch anders.

PS: Und nebenbei hast du entdeckt, dass 0,[periode]9 gleich 1 ist.

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"Eigentlich habe ich ja zweimal genau dieselben Rechnungen, nur einmal im im rationalen und einmal im irrationalen Zahlenbereich."

Nein, sowohl 0,P3, als auch 1/3 sind rational. Periodische Dezimalzahlen sind immer rational.

"Liegt es daran, dass 0,333 nur ein Näherungswert für 1/3 ist"

Nein, 0,P3 ist exakt gleich 1/3 - die beiden Zahlen sind äquivalent.

Es ist ganz einfach:

0,P9 = 1

Es gibt mehrere Beweismethoden dafür.

Die einfachste ist, es ist Analogien zu beweisen:

0,P1 = 1/9

0,P2 = 2/9

0,P3 = 3/9 (= 1/3)

0,P4 = 4/9

...

0,P8 = 8/9

0,P9 = 9/9 = 1

Da 9/9 äquivalent zu 1 ist, ist auch 0,P9 gleich 1.

Ein anderer Beweis ist der durch Äquivalenzumformung:

0,P3 = 1/3      |*3

0,P9 = 3/3 = 1

(bzw. durch einen Widerspruchsbeweis mit These: 0,P9 < 1)

Es ist ein feststehender Grundsatz der Mathematik, dass 0,P9 äquivalent zu 1 ist.

Daran gibt es nicht zu rütteln - es ist so, genauso wie die Tatsache, dass 1 + 1 = 2.

Sehr streng betrachtet existiert aber doch eine unendlich kleine Differenz zwischen den beiden Werten.

Theoretisch gibt es eine Wertedifferenz von ∞⁻¹, also 1/∞, aber da ∞ ist keine reelle Zahl, darf sie nicht als Nenner in einem Bruch stehen.

∞ ist faktisch gar keine Zahl - lediglich ein Grenzwert - und genau das macht es schwierig, mit ∞ zu rechnen.

Und das zeigt eben auch wieder, dass eine Äquivalenz herrscht.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen oder etwas nicht verstanden hast, kommentiere einfach, damit ich dir helfen kann. ;)

LG Willibergi 

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Das hat tatsächlich einen tieferen mathematischen Hintergrund. Kurz gesagt 0,999Periode und 1 ist das gleiche.

Die periodische Dezimalzahl 0,999… (auch mit mehr oder weniger Neunern vor den Auslassungspunkten geschrieben oder als 0,9 oder 0,(9)) bezeichnet eine reelle Zahl, von der in der Mathematik gezeigt werden kann, dass sie gleich 1 ist. Mit anderen Worten: Die Symbole „0,999…“ und „1“ stellen unter den Regeln der üblichen Stellenwertnotation für die reellen Zahlen dieselbe Zahl dar. Beweise dieser Gleichung wurden mit unterschiedlichem Grad an Strenge formuliert, je nach bevorzugter Einführung der reellen Zahlen, Hintergrundannahmen, historischem Kontext und Zielgruppe.

https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6

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Kommentar von ollesgemuese
17.07.2016, 19:51

Ich empfehle hierzu, auch die "diskussionsseite" des Wiki-Artikels zu lesen. So glasklar  und kurz kann man das nicht behaupten ;)

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Das Periodenproblem taucht immer dann auf, wenn man nicht rictig definiert.

0,1 = 1/10        10 * 0,1 = 1     und 10 * 1/10 = 1
   _                              _             
0,1 = 1/9            9 * 0,1  = 1    und   9 *  1/9  = 1

Diese Schreibweise wurde doch extra deshalb geschaffen, weil man weiß, dass 0,1111111 keine vollständige Darstellung der Periodizität sein kann.

Dass die Sache auch wohldefiniert ist (zu deutsch: ordentlich ausgedacht wurde), erkennt man an dieser Rechnung, die beides zusammenfürhrt:
        _                  _              _           _      _
9 * 0,1  =  (10 * 0,1) - (1 * 0,1 ) =  1,1 - 0,1    =   1

So ist diese Definition nämlich zustandegekommen.

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Kommentar von Roach5
17.07.2016, 23:06

Sehr elegant!

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"zweimal genau dieselben Rechnungen" genau das hast du ja nicht, aber du hast es dir ja selber erklärt: 0,33 ist nicht daselbe wie 0,333 und das ist nicht dasselbe wie 0,33333333 usw usw. Näherungswert war schon das richtige Stichwort. "Ein Drittel" ist die Beschreibung eines solchen Näherungwertes, in der Realität wird der aber extrem abgekürzt. Wenn du zB 1/3 eines Vermögens erbst oder wenn ihr euch irgendwelche Kosten auf 3 aufteilt etc.

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Kommentar von Willibergi
17.07.2016, 22:04

"Näherungswert war schon das richtige Stichwort."

Das kann man nicht so sagen. 0,P3 ist nicht im geringsten eine Näherung für 1/3 - oder ist 2 eine Näherung für 1 + 1? ^^

"in der Realität wird der aber extrem abgekürzt."

Nicht immer. Drei Mathematiker kaufen 99 Donuts - jeder bekommt exakt 33 davon.

Kritisch wird es nur, wenn der Quotient nicht ganzzahlig ist.

LG Willibergi

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 0,̅9̅  = 1

Oder: 0,(Periode)9 ist gleich 1.

0,999… ist eben nicht ungleich 1, sondern gleich 1.


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0,Periode 9 werden aber auch als 1 betrachtet und somit stimmt es

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0.p9 = 1, das kann man relativ einfach beweisen.

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0,p9=1 recht leicht zu beweisen

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1/3 ist 0,3333.... unendlich lang. Damit kann das kein Taschenrechner richtig ausrechnen.

0,9999.... = 1

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Kommentar von LeCux
17.07.2016, 19:43

davon ab 3 * 0,333... = 0,999... = 1 und nicht 3

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Kleiner Rechtschreibfehler in der Überschrift: 

Wieso ist 3mal 0,333333 nicht      1     ?

Tschuldigung :)

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