Wieso ist 1+1 = 2?
Wieso ist 1+1 = 2 und nicht 0 ? Man kann doch auch beweisen, dass 1+1 theoretisch 0 sein werden kann, trotzdem wird in der Grundschule gelernt, dass 1+1=2 ist.
17 Antworten
Der Beweis für 1+1=2 folgt einerseits aus den Axiomen der natürlichen Zahlen (Peano-Axiome, nämlich, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger haben muss) und der Definition, dass 2:=1+1 eben dieser Nachfolger ist. So in etwa.
1+1=0 in F_2 - soviel dann dazu.
Letztlich ist vieles Definitionssache, ja sogar die Benennung, man könnte ja auch sagen, wenn ich mir einen Apel vom Baum nehme udn dann noch einen, dann sind das 3 Äpfel - Nicht nach unserem üblichen Verständnis, weil wir eben 1+1+1=3 annehmen, aber was wäre denn, wenn wir die Anzahl 3 und die heutige 3 zwei genannt hätten?
Letztlich ist die 'Standardalgebra' mit den arabischen Zahlen eine Konvention und eine konkrete Ausprägung.
Apfel+Birne=Kompost ist aber genauso legitim, wenn ich die Algebra entsprechend sauber definiere.
Vergleiche zum Beispiel auch die relationale Algebra - ja, auch das ist eine Algebra.
Im normalen Zahlenbereich der Schulmathematik ist die Summe zweier Einselemente die nächstgrößere Zahl, und das ist die Zwei. Im Zahlenring, der nur aus dem Nullelement 0 und dem Einselement 1 besteht, ist 1+1=0.
Dazu Ian Stuart in seinem Buch "Mathematische Schätze", S. 420 über den Beweis für 2 + 2 = 4:
"Tatsächlich besteht die Schwierigkeit jedoch darin, Zahlen und Addition zu definieren. Aus diesem Grund haben Russel und Whitehead 379 Seiten gebraucht, um in ihrer "Pricipia Mathematica" den simpleren Satz 1 + 1 = 2 zu beweisen. Danach ist 2 + 2 = 4 ein Kinderspiel." --> https://de.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica
Bei mir ergibt binär 1 + 1 immer noch 10 (also dezimal 3)
...oder hab ich da eine entsprechende "Entwicklung" verpasst?
2 = 1+1 ist einfach die Definition von 2 und somit stets korrekt, sofern eine 1 und eine Addition existiert. Ob nun 2 = 0 gilt oder nicht, hängt von der algebraischen Struktur ab, wie du selber bemerkt hast. Der Fall, dass 2 = 0 ist, schafft eine Welt, die vor allem für Informatiker und manche theoretischen Physiker interessant ist.
Grundschüler beschäftigen sich aber vorwiegend mit klassischer Physik, der Vektorräume über den reellen Zahlen zugrunde liegen. Diese haben bekanntermaßen die Charakteristik 0, was den Fall 1+1=0 unmöglich macht.
Es ist nicht so, dass Grundschüler sich nicht darüber im Klaren sind, dass 1+1=0 in gewissen Zusammenhängen Sinn ergibt, denn sie lernen ja "ungerade plus ungerade ergibt gerade", aber sie bearbeiten diesen Fall nicht, da er für ihr Spezialgebiet irrelevant scheint.