Wieso hat ein Hohlzylinder einen größeren Trägheitsmoment als ein Vollzylinder, obwohl ein Vollzylinder mehr Masse hat?

9 Antworten

Die einfache aber wahrscheinlich unbefridigende Antwort ist: weil das Trägheitsmoment so definiert ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment#Allgemeine_Definition

D.h je weiter die Masse vom Mittelpunkt, bzw um präziser zu sein der Rotationsachse, entfernt ist, desto größer ihr Beitrag zum Trägheitsmoment. Daher hat ein Hohlzylinder bei gleicher Masse ein höheres Trägheitsmoment als ein Vollzylinder.

Die Frage ist nun, warum ist die Definition so sinnvoll? Dafür mochte ich eine evtl formal nicht ganz korrekte Motivation geben: Zuerst betrachten wir eine Punktmasse m, die sich auf einer Kreisbahn mit Radius r bewegt. Um die Masse auf der Kreisbahn zu halten muss die Zentripetalkraft m*v/r^2 aufgebracht werden, dabei ist v die Geschwindigkeit der Masse. Damit hat das Teilchen eine kinetische Energie von E=m*v^2.

Nun gehe ich von "normalen" zu Rotationsbewegungen, dabei gibt es einige Ähnlichkeiten:

kinetische Energie -> Rotationsenergie, Kraft -> Drehmoment, Masse -> Trägheitsmoment, Geschwindigkeit -> Winkelgeschwindigkeit...

Wenn nun die Rotationsenergie analog zur kinetischen Energie sein soll ist: E_rot=1/2*I*(omega)^2, wobei (omega) die Winkelgeschwindigkeit und I das Trägheitsmoment ist. Nun erscheint es sinnvoll das die Rotationsenergie gleich der kinetischen ist. Aus dem vorherigen Beispiel kann ich berechnen, dass die Umlaufzeit T=2*(pi)*r/v ist, bzw 2*(pi)/T=(omega)=v/r. Damit folgt: E_kin=1/2*m*v^2=1/2*m*r^2*(omega)^2 da dies gleich der Rotationsenergie ist folgt: I=m*r^2. Wenn du dir nun vorstellst, dass deine Zylinder aus unendlich vielen und kleinen Massen besteht, kommst du auf die Formel aus dem Artikel.

Zusatz: Dass ein Hohlzylinder OBdA ein höheres Trägheitsmoment hat stimmt so nicht, der Umkehrschluss allerdings auch nicht. Welches der Trägheitsmomente größer ist hängt von den Radien (außen und innen) und den Massen ab.

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Es hängt bei gleicher Masse und gleicher äußerer Größe zwar vom inneren Radius ab, aber sehr einfach. Je kleiner dieser ist, desto größer ist das Trägheitsmoment. Unter den genannten Voraussetzungen hat der volle Zylinder das größte Trägheitsmoment

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Meine natürlich gleiche Dichte, nicht gleiche Masse

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Ein Vollzylinder hat ein Trägheitsmoment von 1/2*m*r^2 bei Rotation um die Symmetrieachse, ein Hohlzylinder mit einer im Vergleich zum Radius kleinen Wandstärke hat ein Trägheitsmoment von ungefähr m*r^2 bei Rotation um die Symmetrieachse. Nun sieht es scheinbar so aus, als wäre das Trägheitsmoment des Hohlzylinders größer, tatsächlich musst du aber berücksichtigen, dass der Hohlzylinder bei gleichem Material eine deutlich geringere Masse hat, als der Vollzylinder. Somit ist das Trägheitsmoment eines Vollzylinders schon größer als das eines Hohlzylinders.

Stimmt so leider nicht ganz wenn I_h=m_h*r^2 und I_v=1/2*m_v*r^2 dann folgt aus :

I_v>I_h

<=> 1/2*m_v*r^2>m_h*r^2

=> m_v>2*m_h

Also ist das Trägheitsmoment eines Vollzylinders nur größer als das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders gleichen Radius, wenn seine Masse mehr als doppelt so groß ist, sonst ist sein Trägheitsmoment kleiner!

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@suin95

Ok, lesen hilft... Bei gleichem Material stimmt das natürlich, war allerdings so nicht in der Frage angegeben.

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Aus der Angabe mit der schiefen Ebene schließe ich, dass Ihr die Zylinder habt runterrollen lassen und der Vollzylinder kam schneller unten an?

Wo aber ist die Rechnung, die daraus das vermeintlich größere Trägheitsmoment errechnet?

Ohne Rechnung kommst Du nicht weiter, denn wenn, wie Du schreibst, der Vollzylinder mehr Masse hat, dann erfährt er auch mehr Hangabtriebskraft - kann also durchaus auch trotz größerem Trägheitsmoment früher unten ankommen.

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